交替方向隐式法

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数值分析中,交替方向隐式法(Alternating direction implicit method)是有限差分法的一种,用于求解抛物线型偏微分方程椭圆型偏微分方程[1]。特别适用于求解二维及更高维度的热传导方程扩散方程

求解热传导方程在传统上使用Crank-Nicolson方法,该方法较为耗时。ADI的优点在于,每一迭代步中,所求解的方程具有更为简单的结构,因此更易于求解。

方法[编辑]

考虑二维扩散方程,

{ \partial u \over \partial t} = 
\left( { \partial^2 u \over \partial x^2 } + { \partial^2 u \over \partial y^2 } \right) = 
( u_{xx} +u_{yy} ) \quad

隐式Crank-Nicolson方法将给出以下有限差分方程:

{ u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^n \over \Delta t } =
{1 \over 2} \left( \delta_x^2 + \delta_y^2 \right) \left( u_{ij}^{n+1}+u_{ij}^n \right)

其中,\delta_p是关于坐标方向p上的中心差分算符。通过稳定性分析可以证明该方法对于任意\Delta t都表现稳定。

但是,Crank-Nicolson方法的缺点在于,上述方程中的带状矩阵分布过宽,这使得求解方程相当耗时。

ADI方法的思想在于将一个有限差分方程分割为两个,一个在x方向上隐式求导,另一个在y方向上隐式求导。

{u_{ij}^{n+1/2}-u_{ij}^n\over \Delta t/2} = 
\left(\delta_x^2 u_{ij}^{n+1/2}+\delta_y^2 u_{ij}^{n}\right)
{u_{ij}^{n+1}-u_{ij}^{n+1/2}\over \Delta t/2} = 
\left(\delta_x^2 u_{ij}^{n+1/2}+\delta_y^2 u_{ij}^{n+1}\right).

这样,该方程系统涉及一个对称阵和一个三角矩阵,可以用三对角阵的求解算法进行计算。

可以证明,该方法无条件稳定[2]

在此基础上扩展有更多的ADI方法,如Douglas[3],f-factor方法[4],可用于求解三维及更高维的问题。

参考文献[编辑]

  1. ^ Peaceman, D. W.; Rachford Jr., H. H., The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations, Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 1955, 3: 28–41, MR0071874 .
  2. ^ Douglas, Jr., J., On the numerical integration of uxx+ uyy= utt by implicit methods, Journal of the Society of Industrial and Applied Mathematics, 1955, 3: 42–65, MR0071875 .
  3. ^ Douglas Jr., Jim, Alternating direction methods for three space variables, Numerische Mathematik, 1962, 4: 41–63, doi:10.1007/BF01386295, ISSN 0029-599X .
  4. ^ Chang, M. J.; Chow, L. C.; Chang, W. S., Improved alternating-direction implicit method for solving transient three-dimensional heat diffusion problems, Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals, 1991, 19 (1): 69–84, doi:10.1080/10407799108944957, ISSN 1040-7790 .