交比

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数学上,複平面上四点的交比

(z_1,z_2;z_3,z_4) = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_1-z_4)(z_2-z_3)}

这个定义可以连续延拓至整个黎曼球面,即複平面加上无穷远点

一般来说,交比可以定义在射影直线(黎曼球面就是複射影直線)。在任何仿射坐标卡中,交比由上式给出。交比是射影几何的不变量,就是说射影变换保持交比不变。 从前人们注意到如果四条直线穿过一点P,第五条直线L不穿过P,分别与四条直线交于四点,那么在L上按序取四点的有向长度,所算出的交比是独立于L。它是这四直线系的不变量。

四个複数的交比为实数当且唯当四点共线共圆

对称[编辑]

各著作对交比有不同定义,不过各定义只相异于某些坐标的置换。一般来说,根据点zi所给出的各种次序,交比可以取六个不同的值。因为四个坐标有24种排列,有些置换保持交比不变。实际上,任意两对坐标对换保持交比:

(z_1,z_2;z_3,z_4) = (z_2,z_1;z_4,z_3) = (z_3,z_4;z_1,z_2) = (z_4,z_3;z_2,z_1)\,

运用这些对称,交比就有6个可能值,由点的次序决定:

(z_1, z_2; z_3, z_4) = \lambda\, (z_1, z_2; z_4, z_3) = {1\over\lambda}
(z_1, z_3; z_4, z_2) = {1\over{1-\lambda}} (z_1, z_3; z_2, z_4) = 1-\lambda\,
(z_1, z_4; z_3, z_2) = {\lambda\over{\lambda-1}} (z_1, z_4; z_2, z_3) = {{\lambda-1}\over\lambda}

群论来说,对称群S4以置换坐标来作用于交比上,这群作用的克莱因四元群(这是保持交比的群)。那么有效对称群是其商群,同构于S3

对某些λ值会有更强的对称,交比的可能值就少于六个。这些λ值对应于S3对黎曼球面的作用的不动点(由以上六个函数给出);等价地,就是在置换群内有非平凡稳定子群的点。

第一个这样的集合是{0, 1, ∞}。但若四点{zi}相异,交比不可能取这些值。这些值是当有一对坐标彼此趋近时的极限值:

(z,z_2;z,z_4) = (z_1,z;z_3,z) = 0\,
(z,z;z_3,z_4) = (z_1,z_2;z,z) = 1\,
(z,z_2;z_3,z) = (z_1,z;z,z_4) = \infty\,

第二个这样的集点是{−1, 1/2, 2}。这情况古典上称为「谐和交比」。最对称的交比是当\lambda = e^{\pm i\pi/3}。这时交比只可能是这两个值。

从变换出发[编辑]

交比为黎曼球面的射影变换所保持,也称为莫比乌斯变换

f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\;,\quad ad-bc \ne 0

所谓它们保持交比就是指

(f(z_1), f(z_2); f(z_3), f(z_4)) = (z_1, z_2; z_3, z_4)\,

作用于黎曼球面上的麦比乌斯变换群有一性质:任意3点集要映射到另外的3点集,都存在唯一的麦比乌斯变换。(这个群作用有3重传递性。)所以给出黎曼球面上4点,有唯一变换把其中3点映射到点0,1,和∞。第四点映射到的点,与原来四点的交比有关。

要看到这点,注意到

(z,1;0,\infty) = \lim_{w\to\infty} \frac{z(1-w)}{z-w} = z\,

所以给出四点 (z_1, z_2; z_3, z_4)可以找到唯一变换f作映射

z_2 \to 1,\; z_3 \to 0,\; z_4 \to \infty

z_1就被映射到(z_1, z_2; z_3, z_4) = f(z_1)。换个角度看,若把交比看为z_1的函数,交比是唯一的变换把点(z_2, z_3, z_4)映射到(1,0,\infty)

高等观点[编辑]

若四点走近,这理论便有了微分学的一面,从而引领至施瓦茨导数理论,还有更一般的射影联络理论。这些理论被应用在共形场论