交运算

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在数学中,在一个集合上的(meet)有两种定义:关于在这个集合上的偏序的唯一下确界(最大下界),假定下确界存在的话; 或者是满足幂等律的交换结合二元运算。在任何一个情况下,这个集合与交运算一起是半格。这两个定义产生等价的结果,除了在偏序方式中有可能直接定义更一般的元素的集合的交。最常见到交运算的领域是

通常把 xy 的交指示为 x \land y

偏序定义[编辑]

A 是带有偏序 \leq 的一个集合,并设 xyA 中的两个元素。A 的一个元素 zxy 的交(或最大下界或下确界),如果满足了下列两个条件:

1. z \leq xz \leq y (就是说,zxy 的下界);
2. 对于 A 中的任何 w,使得 w \leq xw \leq y,有着 w \leq z (就是说,z 大于任何其他 xy 的下界)。

如果有 xy 的交,则它的确是唯一的,因为如果 zz' 都是 xy 的最大下界,则 z \leq z' \leq z,因而 z = z'\,。如果交确实存在,它被指示为 x \land y。在 A 中的某对元素可能缺乏一个交,要么因为它们根本没有下界,要么因为它们的下界中没有一个大于所有其他的。如果所有的元素对都有交,则交实际上是在 A 上的二元运算,并且容易看出这个运算满足下列三个条件: 对有 A 中任何元素 x, yz

a. x \land y = y \land x (交换律),
b. x \land (y \land z) =(x \land y) \land z (结合律),
c. x \land x = x (幂等律)。

泛代数定义[编辑]

通过定义,在集合 A上的 二元运算 \land,如果它满足上面的三个条件 a, bc。有序对 (A,\land) 就是交半格。此外,我们可以定义在 A二元关系 \leq,通过声称 x \leq y 当且仅当 x \land y = x。实际上,这个关系是在 A 上的偏序。对于 A 中任何元素 x, yz

x \leq x,因为 x \land x = x,通过公理 c
如果 x \leq yy \leq xx  = x \land y = y \land x = y,通过公理 a
如果 x \leq yy \leq zx \leq z,因为  x \land z = (x \land y) \land z = x \land (y \land z) = x \land y = x,通过公理 b

两个定义的等价性[编辑]

如果 (A,\leq) 是偏序集合,使得对于每对 A 中的元素都有交,则确实有 x \land y = x 当且仅当 x \leq y,因为在后者情况下 x 确实是 xy 的下界,并且明显的 x 是最大下界当且仅当它是下界。所以用泛代数方式的交定义的偏序一致于最初的偏序。

反过来,如果 (A,\land) 是交半格,并且偏序 \leq 按泛代数方式定义,对于A 中某些元素 xyz = x \land y,则 zxy 关于 \leq 的最大下界,因为 z \land x = x \land z = (x \land x) \land y = z \;\Rightarrow\; z \leq x,类似的 z \leq y,并且如果 wxy 的另一个下界,则 w \land x = w \land y = w,从而 w \land z = w \land (x \land y) = (w \land x) \land y = w \land y = w。所以这个用最初的交定义的偏序定义的交一致于最初的交。

换句话说,两种方式生成本质上等价的概念,集合配备了二元关系和二元运算二者,使得每个结构都由另一个确定,而且分别满足偏序或交的条件。

一般子集的交[编辑]

如果 (A,\land) 是交半格,则交可以被扩为任何非空有限集合的良好定义的交,通过在迭代二元运算中描述的描述的技术。可供选择的,如果交定义或定义自一个偏序,A 的某个子集确实有关于它的下确界。对于非空有限子集,这两种方式产生同样的结果,因为都可以做为交的定义。在 A 的每个子集都有交的情况下,(A,\leq) 是完全格;详情参见完全性 (序理论)

参见[编辑]