交错代数

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抽象代数中,交错代数是乘法不满足结合性,仅满足交错性代数。也就是说,我们有:

  • x(xy) = (xx)y
  • (yx)x = y(xx)

对于所有代数中的xy。每一个结合代数都显然是交错的,但有些严格的非结合代数,例如八元数,也是交错的。另一方面,十六元数则不是交错的。

结合子[编辑]

交错代数之所以这样命名,是因为它们正好是结合子交错的代数。结合子是一个三线性映射,由下式给出:

[x,y,z] = (xy)z - x(yz)

根据定义,一个多线性映射是交错的,如果只要两个自变量相等,映射便为零。一个代数的左交错和右交错恒等式等价于:

[x,x,y] = 0
[y,x,x] = 0.

两个恒等式在一起,便意味着结合子是完全斜对称的。也就是说:

[x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)}] = \sgn(\sigma)[x_1,x_2,x_3]

对于任何置换σ。于是可以推出:

[x,y,x] = 0

对于所有的xy。这等价于所谓的柔性恒等式

(xy)x = x(yx).

因此结合子是交错的。反过来,任何一个结合子交错的代数显然是交错代数。根据对称性,任何一个代数,只要满足以下三个恒等式中的两个:

  • 左交错恒等式:x(xy) = (xx)y
  • 右交错恒等式:(yx)x = y(xx)
  • 柔性恒等式:(xy)x = x(yx).

这个代数便是交错的,因此三个恒等式都满足。

一个交错的结合子总是完全斜对称的。反过来也成立,只要基域的特征不是2。

性质[编辑]

阿廷定理说明,在交错代数中,由任何两个元素生成的子代数结合的。反过来,任何满足这个条件的代数显然是交错的。于是可以推出,在交错代数中,只含有两个变量的表达式可以不用括号写出,而又没有歧义。阿廷定理的一个推广说明,如果交错代数中的三个元素x,y,z是结合的(也就是说,[x,y,z] = 0),那么由这些元素所生成的子代数是结合的。

阿廷定理的一个推论是,交错代数都是幂结合的,也就是说,由一个元素所生成的子代数是结合的。反过来不一定成立:十六元数是幂结合的,但不是交错的。

穆方恒等式

  • a(x(ay)) = (axa)y
  • ((xa)y)a = x(aya)
  • (ax)(ya) = a(xy)a

在任何交错代数中都成立。

在一个单式交错代数中,如果乘法逆存在,那么它一定是唯一的。更进一步,对于任何可逆的元素x和所有的y,都有:

y = x^{-1}(xy).

这等于是说,对于所有这类的xy,结合子[x^{-1},x,y]都是零。如果xy是可逆的,那么xy也是可逆的,其乘法逆为(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}。因此,所有可逆的元素所组成的集合在乘法运算下封闭,并形成了一个穆方圈。在交错环或代数中,这个单位元素圈与结合环或代数中的单位元素群是类似的。

应用[编辑]

任何交错的除环上的射影平面都是穆方平面

参考文献[编辑]

  • Schafer, Richard D. An Introduction to Nonassociative Algebras. New York: Dover Publications. 1995. ISBN 0-486-68813-5.