交错级数判别法

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交错级数审敛法是证明无穷级数收敛的一种方法.该方法最早由戈特弗里德·莱布尼茨发现,因此该方法通常也称为莱布尼茨判别法莱布尼茨准则

具有以下形式的级数

 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!

其中所有的 an 非负,被称作交错级数.如果当 n 趋于无穷时,数列 an 的极限存在且等于 0 ,并且每个 an 小于或等于 an-1 (即,数列 an单调递减的),那么级数收敛.如果 L 是级数的和

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = L\!

那么部分和

S_k = \sum_{n=0}^k (-1)^n a_n\!

逼近 L 有截断误差

\left | S_k - L \right \vert \le \left | S_k - S_{k-1} \right \vert = a_k\!

证明[编辑]

我们假设级数具有形式 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!.当n 趋于无穷时,数列 a_n 的极限等于 0,并且每个 a_n 小于或等于 a_{n-1}(即 a_n单调递减数列).[1]


收敛性证明[编辑]

给定数列前(2n+1)项的部分和 S_{2n+1}  = a_0  + \left( { - a_1  + a_2 } \right) + \left( { - a_3  + a_4 } \right) + \ldots + \left( { - a_{2n - 1}  + a_{2n} } \right) - a_{2n+1} .由于每个括号内的和非正,并且 a_{2n+1}  \geq 0,那么前 (2n+1)项的部分和不大于 a_0.

并且每个部分和可写做 S_{2n+1}  = \left( {a_0  - a_1 } \right) + \left( {a_2  - a_3 } \right) + \ldots + \left( {a_{2n}  - a_{2n+1} } \right).每个括号内的和非负.因此,级数 S_{2n+1} 单调递增: 对任何 n \in N 均有: S_{2n+1}  \le S_{2n + 3} .

结合以上两段论述,由单调收敛定理可得,存在数 s 使得 \lim_{n \to \infty } S_{2n+1}  = s.

由于 S_{2n}  = S_{2n+1}  - a_{2n + 1} 并且 \lim_{n \to  + \infty } a_n  = 0,那么 \lim_{n \to \infty } S_{2n}  = s.给定数列的和为 \lim_{n \to \infty}S_{2n}  = \lim_{n \to \infty}S_{2n + 1}  = s,其中 s 为有限数,从而数列收敛.

部分和截断误差的证明[编辑]

在收敛性的证明过程中,我们发现 S_{2n+1} 是单调递增的.由于 S_{2n} = a_0 +\left(-a_1 + a_2\right) + \ldots + \left(-a_{2n-1} + a_{2n}\right),并且括号中的每一项是非正的,这样可知 S_{2n} 是单调递减的.由先前的论述,\lim_{n \to \infty}S_{2n} = L,因此 S_{2n} \geq L.类似的,由于 S_{2n+1} 是单调递增且收敛到 L,我们有 S_{2n+1} \leq L.因此我们有 S_{2n+1} \leq L \leq S_{2n} 对所有的 n 均成立.

因此如果 k 是奇数我们有 |L - S_k| = L - S_k \leq S_{k+1} - S_k = a_{k+1} \leq a_k,而如果 k 是偶数我们有 |L-S_k| = S_k - L \leq S_k - S_{k-1} = a_k

参阅[编辑]

图书资料[编辑]

  • Knopp,Konrad,"Infinite Sequences and Series",Dover publications,Inc., New York,1956.(§ 3.4) ISBN 0-486-60153-6
  • Whittaker,E.T.,and Watson,G.N.,A Course in Modern Analysis,fourth edition,Cambridge University Press,1963.(§ 2.3) ISBN 0-521-58807-3
  • Last,Philip,"Sequences and Series",New Science, Dublin,1979.(§ 3.4) ISBN 0-286-53154-3

参考文献[编辑]

  1. ^ Beklemishev, Dmitry V. Analytic geometry and linear algebra course 10. FIZMATLIT. 2005.