交错级数判别法

交错级数审敛法是证明无穷级数收敛的一种方法．该方法最早由戈特弗里德·莱布尼茨发现，因此该方法通常也称为莱布尼茨判别法或莱布尼茨准则．

具有以下形式的级数

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!$

其中所有的 a_n 非负，被称作交错级数．如果当 n 趋于无穷时，数列 a_n 的极限存在且等于 0 ，并且每个 a_n 小于 a_n-1 (即，数列 a_n 是单调递减的)，那么级数收敛．如果 L 是级数的和

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = L\!$

那么部分和

$S_k = \sum_{n=0}^k (-1)^n a_n\!$

逼近 L 有截断误差

$\left | S_k - L \right \vert \le \left | S_k - S_{k-1} \right \vert = a_k\!$ ．

证明 [编辑]

我们假设级数具有形式 $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n\!$ ．当 $n$ 趋于无穷时，数列 $a_n$ 的极限等于 0，并且每个 $a_n$ 小于 $a_{n-1}$ （即 $a_n$ 是单调递减数列）．^[1]

收敛性证明 [编辑]

给定数列前(2n+1)项的部分和 $S_{2n+1} = a_0 + \left( { - a_1 + a_2 } \right) + \left( { - a_3 + a_4 } \right) + \ldots + \left( { - a_{2n - 1} + a_{2n} } \right) - a_{2n+1}$ ．由于每个括号内的和非正，并且 $a_{2n+1} \geq 0$ ，那么前 (2n+1)项的部分和不大于 $a_0$ .

并且每个部分和可写做 $S_{2n+1} = \left( {a_0 - a_1 } \right) + \left( {a_2 - a_3 } \right) + \ldots + \left( {a_{2n} - a_{2n+1} } \right)$ ．每个括号内的和非负．因此，级数 $S_{2n+1}$ 单调递增: 对任何 $n \in N$ 均有: $S_{2n+1} \le S_{2n + 3}$ .

结合以上两段论述，由单调收敛定理可得，存在数 s 使得 $\lim_{n \to \infty } S_{2n+1} = s$ .

由于 $S_{2n} = S_{2n+1} - a_{2n + 1}$ 并且 $\lim_{n \to + \infty } a_n = 0$ ，那么 $\lim_{n \to \infty } S_{2n} = s$ ．给定数列的和为 $\lim_{n \to \infty}S_{2n} = \lim_{n \to \infty}S_{2n + 1} = s$ ，其中 $s$ 为有限数，从而数列收敛．

部分和截断误差的证明 [编辑]

在收敛性的证明过程中，我们发现 $S_{2n+1}$ 是单调递增的．由于 $S_{2n} = a_0 +\left(-a_1 + a_2\right) + \ldots + \left(-a_{2n-1} + a_{2n}\right)$ ，并且括号中的每一项是非正的，这样可知 $S_{2n}$ 是单调递减的．由先前的论述， $\lim_{n \to \infty}S_{2n} = L$ ，因此 $S_{2n} \geq L$ ．类似的，由于 $S_{2n+1}$ 是单调递增且收敛到 $L$ ，我们有 $S_{2n+1} \leq L$ ．因此我们有 $S_{2n+1} \leq L \leq S_{2n}$ 对所有的 n 均成立．