交错群

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群论
Rubik's cube.svg

数学中,交错群alternating group)是一个有限集合偶置换。集合 {1,...,n} 上的交错群称为 n 阶交错群,或 n 个字母上的交错群,记做 An 或 Alt(n)。

例如,4 阶交错群是 A4 = {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} (参见轮换记法 cycle notation)。

基本性质[编辑]

n > 1,群 An对称群 Sn交换子群指数为 2,从而有n!/2 个元素。它是符号群同态 sgn : Sn → {1, −1} 的

An阿贝尔当且仅当 n ≤ 3,当且仅当 n = 3 或 n ≥ 5。注意 A3 事实上是 3 阶单群。A1 与 A2 是 1 阶群,一般不称为单的,而 A4 有一个非平凡正规子群从而不单。A5 是最小非阿贝尔单群,阶数为 60,也是最小不可解群

共轭类[编辑]

对称群中,An 的共轭类由有相同轮换型的元素组成。但是如果轮换类型只由没有两个长度相等的奇数长的轮换组成,这里长为 1 的轮换包含在轮换型中,则对这样的轮换型恰有两个共轭类 (Scott 1987,§11.1, p299)。

例如:

  • 两个置换 (123) 与 (132) 有相同的轮换型从而在 S3 中共轭,但在 A3 中不共轭。
  • 置换 (123)(45678) 与其逆 (132)(48765) 有相同的轮换型所以在 S8 中共轭,但在 A8 中不共轭。

自同构群[编辑]

n \mbox{Aut}(A_n) \mbox{Out}(A_n)
n\geq 4, n\neq 6 S_n\, C_2\,
n=1,2\, 1\, 1\,
n=3\, C_2\, C_2\,
n=6\, S_6 \rtimes C_2 V=C_2 \times C_2

n > 3,除了 n = 6,An 的自同构群就是 Sn 的自同构群,其内自同构群An 外自同构群Z2;外自同构来自用一个奇置换共轭。

n = 1 与 2,自同构群平凡。对 n = 3 自同构群是 Z2,其内自同构群平凡外自同构群为 Z2

A6 的外自同构群是克莱因四元群 V = Z2 × Z2,这也是 S6 的自同构群A6 另外的自同构将三轮换(比如 (123))与 32 型元素(比如 (123)(456))交换。

特殊同构[编辑]

在小交错群与小李型群之间有一些同构。他们是

更显然有 A3 同构于循环群 Z3,以及 A1 与 A2 同构于平凡群(也是 SL1(q)=PSL1(q) 对任何 q)。

子群[编辑]

A4 是说明拉格朗日定理的逆命题一般不成立的最小群:给定一个有限群 G 和 |G| 的一个因子 d,不一定存在 G 的一个 d 阶子群。群 G = A4,阶为 12,没有 6 阶子群。有三个元素的子群(由三个对象的轮换旋转生成)再加上任何一个其它元素生成整个群。

群同调[编辑]

交错群的群同调体现了类似稳定同伦理论stable homotopy theory)中的稳定性:对足够大的 n 是常值。

H1:阿贝尔化[编辑]

第一同调群阿贝尔化相同,因为 A_n 除去已经提到的例外是完全群perfect group),从而有

H_1(A_3,\mathbf{Z})=A_3^{\text{ab}} = A_3 = \mathbf{Z}/3;\,
H_1(A_4,\mathbf{Z})=A_4^{\text{ab}} = \mathbf{Z}/3;\,
H_1(A_n,\mathbf{Z})=0 for n=1,2 and n\geq 5.\,

H2:舒尔乘子[编辑]

n 等于 5 或大于等于 8 时,交错群 An舒尔乘子Schur multiplier)是 2 阶循环群;在 6 和 7 时有一个三重覆盖,则舒尔乘子的阶数为 6。

H_2(A_n,\mathbf{Z})=0 for n = 1,2,3;\,
H_2(A_n,\mathbf{Z})=\mathbf{Z}/6n = 6,7;\,
H_2(A_n,\mathbf{Z})=\mathbf{Z}/2n = 4,5n \geq 8.

参考文献[编辑]