交集

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数学上,两个集合AB交集是含有所有既属于A又属于B的元素,而没有其他元素的集合。

基本定义[编辑]

A和B的交集

AB的交集写作"AB"。形式上:

x属于AB 当且仅当
  • x属于A
  • x属于B

例如:集合{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的交集为{2, 3}。数字9 属于素数集合{2, 3, 5, 7, 11,…}和奇数集合{1, 3, 5, 7, 9, 11,…}的交集。

若两个集合AB的交集为,就是说他们没有公共元素,则他们不相交,写作:AB = Ø。例如集合{1, 2}和{3, 4}不相交,写作{1, 2} ∩{3, 4} = Ø。

更一般的,交集运算可以对多个集合同时进行。例如,集合ABCD交集ABCD = A ∩(B ∩(CD))。交集运算满足结合律,即
A ∩(BC) =(AB)∩C

任意交集[编辑]

以上定義可推廣到任意非空集合的集合的交集。若M是一个非空集合,其元素本身也是集合,则x属于M交集当且仅当任意M的元素Ax属于A。符号表示为:

\left( x \in \bigcap \mathbf{M} \right) \leftrightarrow \left( \forall A \in \mathbf{M}. \ x \in A \right)

这一概念也蕴涵了前述的定義,例如,ABC是集合{A,B,C}的交集。 (若M为空集,有时候談論它的交集也是有意義的,请见空交集)。

这一概念的表示符號有多種。 集合论者有时用"M",有时用"AM A"。后一种写法可以一般化为"iI Ai",表示集合{Ai : i ∈ I}的交集。这里I非空,而對於每個I裡的iAi是一个集合。

索引集I自然数集合时,这种符号表示与无限序列相类似:

\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i

为了排版方便,上述符号也可以写成"A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ...",儘管嚴格說來,像A1 ∩ (A2 ∩ (A3 ∩ ...這樣的寫法是無意義的。(这个例子是可数个集合的交集,非常常用;可以参看σ-代数條目中的例子。)

最后,注意当符号"∩"写在其他符号之前,而不是之间的时候,需要写得大一号。(在HTML中,可以使用字体⋂,或者尝试。)

参见[编辑]