交集

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数学上,两个集合 AB交集是含有所有既属于 A 又属于 B 的元素,而没有其他元素的集合。

基本定义[编辑]

A 和 B 的交集

AB 的交集写作 "AB"。 形式上:

x 属于 AB 当且仅当
  • x 属于 A
  • x 属于 B

例如:集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的交集为 {2, 3}。 数字 9 属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和奇数集合 {1, 3, 5, 7, 9, 11, …} 的交集。

若两个集合 AB 的交集为,就是说他们没有公共元素,则他们不相交,写作:AB = Ø。例如集合 {1, 2} 和 {3, 4} 不相交,写作 {1, 2} ∩{3, 4} = Ø。

更一般的,交集运算可以对多个集合同时进行。 例如,集合 ABCD交集ABCD = A ∩(B ∩(CD))。 交集运算满足结合律,即
A ∩(BC) = (AB) ∩C

任意交集[编辑]

以上定義可推廣到任意非空集合的集合的交集。 若 M 是一个非空集合,其元素本身也是集合,则 x 属于 M交集当且仅当任意 M 的元素 Ax 属于 A。 符号表示为:

\left( x \in \bigcap \mathbf{M} \right) \leftrightarrow \left( \forall A \in \mathbf{M}. \ x \in A \right).

这一概念也蕴涵了前述的定義,例如,ABC 是集合 {A,B,C} 的交集。 (若M 为空集,有时候談論它的交集也是有意義的,请见空交集)。

这一概念的表示符號有多種。 集合论者有时用 "M",有时用 "AM A"。 后一种写法可以一般化为 "iI Ai",表示集合 {Ai : i ∈ I} 的交集。 这里 I 非空,而對於每個I裡的iAi是一个集合。

索引集 I自然数集合时,这种符号表示与无限序列相类似:

\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i

为了排版方便,上述符号也可以写成 "A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ...",儘管嚴格說來,像A1 ∩ (A2 ∩ (A3 ∩ ... 這樣的寫法是無意義的。(这个例子是可数个集合的交集,非常常用;可以参看σ-代数條目中的例子。)

最后,注意当符号 "∩" 写在其他符号之前,而不是之间的时候,需要写得大一号。(在HTML中,可以使用字体 &bigcap;,或者尝试 <big>&cap;</big>。)

参见[编辑]