亨泽尔引理

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亨泽尔引理数学模算术的一個结论。亨泽尔引理说明,如果一个pp是给定的质数)的多项式方程有一个单根,则可以通过这个根求出该方程在模p的更高次方时的根。在完备交换环(包括p进数)中,亨泽尔引理被看作是类似于牛顿法的渐进求根方法。由于p进数分析在某些方面比实分析更加简单,亨泽尔引理可以加强为多项式方程有根的判定方法。

定理内容[编辑]

f(x)係數多項式k為不少於2的整數,p質數。若整數r是下面同餘式的根:

f(r) \equiv 0 \pmod{p^{k-1}}.

對於

f(r+tp^{k-1}) \equiv 0 \pmod{p^k} (I)

,則有:

  • f'(r) \not\equiv 0 \pmod{p},則存在唯一的整數0\le t \le p-1使得(I)成立。
t f'(r) \equiv -( f(r) /p^{k-1} ) \pmod{p} .\,
  • f'(r) \equiv 0 \pmod{p} f(r) \equiv 0 \pmod{p^k} ,則(I)對任意整數t成立。
  • f'(r) \equiv 0 \pmod{p} f(r) \not\equiv 0 \pmod{p^k} ,則(I)無整數解。

證明[编辑]

Hensel引理可用泰勒公式證明。

f(r+tp^{k-1}) = f(r) + t p^{k-1} f'(r) + \frac{1}{2} t^2 p^{2(k-1)} f''(r) + \frac{1}{6} t^3 p^{3(k-1)} f'''(r) + ...

因此可見,由第三項開始,都必能被p^k整除。因此:

f(r+tp^{k-1}) \equiv f(r) + t p^{k-1} f'(r) \pmod{p^k}

推廣[编辑]

K為完備局域。設 \mathcal{O}_KK的整數環,設f(x)為係數在  \mathcal{O}_K 的多項式,若存在 \alpha_0 \in \mathcal{O}_K使得

|f(\alpha_0)| < |f'(\alpha_0)|^2

f(x)有根 \alpha \in K

且:

  1.  \alpha_{i+1} = \alpha_i - \frac{ f(\alpha_i) }{f'(\alpha_i) } 趨近 \alpha
  2.  | \alpha - \alpha_0 | \le | \frac{ f(\alpha_i) }{f'(\alpha_i) } | < 1

這個引理其中一個重要應用就是在域為p進數的情形。

參考[编辑]