亨泽尔引理

在數學上 ，Hensel引理是一個求根方法，類似牛頓法，可用於完備交換環。

Hensel引理的初等形式如下。

設$f(x)$為有整係數多項式，$k$為不少於2的整數，$p$為質數。若整數$r$是下面同餘式的根：

$f(r) \equiv 0 \pmod{p^{k-1}}.$

對於

$f(r+tp^{k-1}) \equiv 0 \pmod{p^k}$ （I）

，則有：

• 若$f'(r) \not\equiv 0 \pmod{p}$，則存在唯一的整數$0\le t \le p-1$使得（I）成立。

$t f'(r) \equiv -( f(r) /p^{k-1} ) \pmod{p} .\,$

• 若$f'(r) \equiv 0 \pmod{p}$ 且 $f(r) \equiv 0 \pmod{p^k}$ ，則（I）對任意整數t成立。
• 若$f'(r) \equiv 0 \pmod{p}$ 但 $f(r) \not\equiv 0 \pmod{p^k}$，則（I）無整數解。

證明

Hensel引理可用泰勒公式證明。

$f(r+tp^{k-1}) = f(r) + t p^{k-1} f'(r) + \frac{1}{2} t^2 p^{2(k-1)} f''(r) + \frac{1}{6} t^3 p^{3(k-1)} f'''(r) + ...$

因此可見，由第三項開始，都必能被$p^k$整除。因此：

$f(r+tp^{k-1}) \equiv f(r) + t p^{k-1} f'(r) \pmod{p^k}$

推廣

若$K$為完備局域。設 $\mathcal{O}_K$為$K$的整數環，設$f(x)$為係數在 $\mathcal{O}_K$的多項式，若存在 $\alpha_0 \in \mathcal{O}_K$使得

$|f(\alpha_0)| < |f'(\alpha_0)|^2$

則$f(x)$有根$\alpha \in K$。

且：

1. $\alpha_{i+1} = \alpha_i - \frac{ f(\alpha_i) }{f'(\alpha_i) }$ 趨近$\alpha$
2. $| \alpha - \alpha_0 | \le | \frac{ f(\alpha_i) }{f'(\alpha_i) } | < 1$

這個引理其中一個重要應用就是在域為p進數的情形。

參考

• http://mathworld.wolfram.com/HenselsLemma.html
• http://eom.springer.de/h/h046930.htm
• http://planetmath.org/encyclopedia/HenselsLemma.html