介值定理

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

数学分析中,介值定理(intermediate value theorem)描述了連續函數在兩點之間的連續性:

如果連續函數 f(x) 通過 (a, f(a))(b, f(b)) 兩點,它也必定通過 [a, b] 區間內的任一點 (c, f(c)), a < c < b

直觀地比喻,這代表在 [a,b] 區間上可以畫出一個連續曲線,而不讓筆離開紙面。如果這個連續函數是光滑曲線,其任二點間的光滑性可由均值定理來描述。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明,在這個證明中,他附帶證明了波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理

介值定理圖解

定理[编辑]

假設 I = [a,b] 是一個實數裡的闭区间,而 f\colon I \rightarrow \mathbb{R}連續函數,那麼其像集 f(I) 也是區間。它或者包含 [f(a),f(b)](如果 f(a) \leq f(b)),或者包含 [f(b),f(a)](如果 f(b) \leq f(a))。換言之:

  • \displaystyle f(I) \supseteq [f(a),f(b)],

  • \displaystyle f(I) \supseteq [f(b),f(a)].

介值定理通常以下述等價的形式表述:假設f\colon I \rightarrow \mathbb{R} 是連續函數,且實數 u 滿足  f(a) < u < f(b)f(a) > u > f(b),則存在 c \in (a,b) 使得 f(c)=u

证明[编辑]

我们证明第一种情况f(a)<u<f(b);第二种情况也类似。

S[a,b] 内所有 x 的集合,使得 f(x) \leqslant u 。那么 S 是非空的,因为 aS 的一个元素,且 S 是上有界的,其上界为 b 。于是,根据实数的完备性最小上界c= \mathrm{sup} S一定存在。我们来证明f(c)=u

  • 假设f(c)>u。那么f(c)-u>0,因此存在 \delta >0,使得当\left| x-c \right|< \delta时,就有\left| f(x)-f(c) \right|< f(c)-u ,因为 f 是连续函数。但是,这样一来,当\left| x-c \right|< \delta时,就有f(x)>f(c)-(f(c)-u)=u(也就是说,对于(c- \delta ,c+ \delta ) 内的 x ,都有 f(x)>u )。因此 c- \deltaS 的一个上界,与我们假设 c 是最小上界以及 c- \delta <c 矛盾。
  • 假设f(c)<u。根据连续性,存在一个 \delta >0,使得当\left| x-c \right|< \delta时,就有\left| f(x)-f(c) \right|< u-f(c)。那么对于(c- \delta ,c+ \delta ) 内的 x ,都有f(x)<f(c)+(u-f(c))=u,因此存在大于 cx ,使得f(x)<u,这与 c 的定义矛盾。

因此f(c)=u

與實數完備性的關係[编辑]

此定理仰賴於實數完備性,它對有理數不成立。例如函數 f(x) = x^2 - 2 滿足 f(0)=-2, f(2)=2,但不存在滿足 f(x)=0 的有理數 x

零点定理(波尔查诺定理)[编辑]

零点定理是介值定理的一种特殊情况-如果曲線上兩點的值正負號相反,其間必定存在一個根:

设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续,且 f(a) \cdot f(b) < 0,则必存在 \xi \in (a,b) 使 f(\xi)=0 成立。

由於零点定理可用來找一方程式的根,也稱為勘根定理。伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理,同時證明了這個定理的一般情況(即介值定理)。以現代的標準來說,他的證明並不算是非常嚴格。[1]

现实世界中的意义[编辑]

介值定理意味着在地球的任何大圆上,温度压强海拔二氧化碳浓度(或其他任何连续变化的变量),总存在两个对蹠点,在这两个点上该变量的值是相同的。

证明:f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线,与圆相交于点A和点B。设df(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度,将得到值−d。根据介值定理,一定存在某个旋转角,使得d = 0,在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

参考[编辑]

外部链接[编辑]

参见[编辑]