介值定理

在數學中，介值定理的陳述是：

假設 $I = [a,b]$ 是一個實數裡的闭区间，而 $f\colon I \rightarrow \mathbb{R}$ 是連續函數，那麼其像集 $f(I)$ 也是區間。它或者包含 $[f(a),f(b)]$（如果 $f(a) \leq f(b)$），或者包含 $[f(b),f(a)]$（如果 $f(b) \leq f(a)$）。換言之：

• $\displaystyle f(I) \supseteq [f(a),f(b)]$,

或

• $\displaystyle f(I) \supseteq [f(b),f(a)]$.

介值定理通常以下述等價的形式表述：假設$f\colon I \rightarrow \mathbb{R}$ 是連續函數，且實數 $u$ 滿足 $f(a) < u < f(b)$ 或 $f(a) > u > f(b)$，則存在 $c \in (a,b)$ 使得 $f(c)=u$。

直觀地比喻，這代表可以在紙上畫出一個連續函數 $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ 的圖形，而不讓筆離開紙面。

介值定理首先由伯纳德·波尔查诺提出和证明，但是他的证明现在看来不是十分严格。

介值定理圖解

证明

我们证明第一种情况f(a) < u < f(b)；第二种情况也类似。

设S为[a, b]内所有x的集合，使得f(x) ≤ u。那么S是非空的，因为a是S的一个元素，且S是上有界的，其上界为b。于是，根据实数的完备性，最小上界c = sup S一定存在。我们来证明f(c) = u。

• 假设f(c) > u。那么f(c) − u > 0，因此存在δ > 0，使得当|x − c| < δ时，就有|f(x) − f(c)| < f(c) − u，因为f是连续函数。但是，这样一来，当|x − c| < δ时，就有f(x) > f(c) − (f(c) − u) = u（也就是说，对于(c − δ, c + δ)内的x，都有f(x) > u）。因此c − δ是S的一个上界，与我们假设c是最小上界以及c − δ < c矛盾。

• 假设f(c) < u。根据连续性，存在一个δ > 0，使得当|x − c| < δ时，就有|f(x) − f(c)| < u − f(c)。那么对于(c − δ, c + δ)内的x，都有f(x) < f(c) + (u − f(c)) = u，因此存在大于c的x，使得f(x) < u，这与c的定义矛盾。

因此f(c) = u。

此定理仰賴於實數完備性，它對有理數不成立。例如函數 $f(x) = x^2 - 2$ 滿足 $f(0)=-2, f(2)=2$，但不存在滿足 $f(x)=0$ 的有理數 $x$。

零点定理

零点定理是介值定理的一种特殊情况。设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a) \cdot f(b) < 0$，则必存在$\xi \in (a,b)$使$f(\xi)=0$成立。由於零点定理可用來找一方程式的根，也稱為戡根定理。

现实世界中的意义

介值定理意味着在地球的任何大圆上，温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度（或其他任何连续变化的变量），总存在两个对蹠点，在这两个点上该变量的值是相同的。

证明：取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值−d。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得d = 0，在这个角度上便有f(A) = f(B)。

这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。

参见

• 中值定理
• 极值定理

外部链接

• cut-the-knot上的介值定理-波尔查诺定理
• 埃里克·韦斯坦因, Bolzano's Theorem at MathWorld