代数拓扑

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代数拓扑(Algebraic topology)是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间数学分支。

代数不变量方法[编辑]

这里的目标是取拓扑空间然后把它们进一步分成范畴或分类。该课题的旧称之一是组合拓扑,蕴含着将重点放在如何从更简单的空间构造空间X的意思。现在应用于代数拓扑的基本方法是通过函子,把空间映射到相应的代数范畴上。例如,通过一种保持空间的同胚关系的方式映射到上。

实现这个目标的主要方法是通过基本群,或者更一般的同伦论,和同调上同调群。基本群给了我们关于拓扑空间结构的基本信息,但它们经常是非交换的,可能很难使用。(有限)单纯复形的基本群的确有有限表示

另一方面来讲,同调上同调群是交换群,并且在许多重要情形下是有限生成的。有限生成交换群有完整的分类,并且特别易于使用。

同调的结果[编辑]

通过使用有限生成可交换群可以立刻得出几个有用的结论。单纯复形的n-阶同调群的自由阶等于n-阶贝蒂数(Betti number),所以可以直接使用单纯复形的同调群来计算它的歐拉示性數。作为另外一个例子,闭流形的最高维的积分上同调群可以探测可定向性:该群同构于整数或者0,分别在流形可定向和不可定向时。这样,很多拓扑信息可以在给定拓扑空间的同调中找到。

在只定义在单纯复形的单纯同调之上,还可以使用光滑流形的微分结构来通过德拉姆上同调或Čech上同调或层上同调来研究定义在流形上的微分方程的可解性。德拉姆证明所有这些方法是相互关联的,并且对于闭可定向流形,通过单纯同调得出的贝蒂数和从德拉姆上同调导出的是一样的。

在范畴论中[编辑]

一般来讲,所有代数几何的构造都是函子式的:概念范畴函子自然变换起源于此。基本群,同调和上同调群不仅是两个拓扑空间同胚时的不变量;而且空间的连续映射可以导出所相关的群的一个群同态,而这些同态可以用于证明映射的不存在性(或者,更深入的,存在性)。

代数拓扑的问题[编辑]

代数拓扑的经典应用包括:

  • 布劳威尔不动点定理:每个从n维圆盘到自身的连续映射存在一个不动点。
  • n维球面可以有一个无处为0的连续单位向量场当且仅当n是奇数。(对于n=2,这有时被称为"毛球定理"。)
  • 博苏克-乌拉姆定理:任何从n维球面到欧氏n维空间的映射至少将一对对角点映射到同一点。
  • 任何自由群的子群是自由的。这个结果很有意思,因为该命题是纯代数的而最简单的证明却是拓扑的。也就是说,任何自由群G可以实现为X的基本群。覆盖空间的主定理告诉我们每个G的子群H是某个X的覆盖空间Y的基本群;但是每个这样的Y又是一个图。所以其基本群H是自由的。

代数拓扑中最著名的问题之一是庞加莱猜想,它已经由俄国数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年解决。同伦论领域包含了很多悬疑,如表述球面的同伦群的正确方式等。

参看[编辑]

参考[编辑]

  • Allen Hatcher, Algebraic Topology ,剑桥大学出版社,剑桥,2002年。ISBN 0-521-79540-0.现代的带几何特色的代数拓扑介绍。该书有免费PDF和PostScript格式免费下载,网址作者的主页
  • C. R. F. Maunder, Algebraic Topology (1970) Van Nostrand Reinhold, London ISBN 73-105346.