代数数域

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

有理数域\mathbb{Q}有限扩张域叫作代数数域,简称为数域。若集合K中至少包含一个数域,且对其中数的加减乘除四则运算是封闭的,则称K为一个数域。[1] 如果数域K\subseteq \mathbb{R}(实数域),那么称它为实域,否则称为虚域。 作代数数域可视为]]\mathbb{Q}上的[向量空间],是代数数论的中心主题。 定义代数数域从[向量空间]来理解,可以被认为是序列(或元组)组成:

(x1, x2, ...)

从一个定域,如域Q,可以通过添加域Q扩域元素,一个接一个添加。此外,任何序列可以乘以一个的定域的单个元素c。这正是向量加法和[标量乘法],满足向量空间中的抽象定义的属性。向量空间可以是“无穷”,也就是说,构成向量空间的序列可无限长。如果由“有限”序列添加得出的向量空间,:(x1, x2, ..., xn),就称有限维向量空间

例子[编辑]

  • 最小和最基本的'代数数域Q有理数域。许多代数数域概念,如一般数域唯一分解,就来自“Q属性
  • 高斯有理数Q(i) (读 "Qi"), ,是发现第一个非平凡代数数域的例子,它的元素的形式表达:
a+bi,a,b∈Q.

高斯有理数中::i2 = −1.为虚单位,加和乘运算为:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
(a + bi) (c + di) = (acbd) + (ad + bc)i.

非零高斯有理数元都可逆:

(a+bi)\left(\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\right)=\frac{(a+bi)(a-bi)}{a^2+b^2}=1.

高斯有理数域Q(i)是有理数域Q的2次扩张,也可看成有理数域上2维向量空间。

  • 更普遍的,任何非平方的整数 d二次域
Q(√d)

是添加d的平方根到有理数域得到的一个扩域,与高斯有理数的运算定义类似,高斯有理数其实是二次域:: Q(√d) d = − 1的特例。

  • 分圆域
Qn), ζn = exp (2πi / n)

从有理数域Q添加n次根ζn获得. 分圆域包含所有复数的n次根,其在有理数域Q维数等于φ(n), 其中φ是欧拉函数

都是有理数域Q无穷维的向量空间,因此,都不是代数数域。因为实数R 和复数C作为集合都不可数,而每一个代数数域一定是可数集合

(1,0)(0,1)=(1·0,0·1)=(0,0)。

代数和整数环[编辑]

一般来说,抽象代数中域的扩张F / E是代数,如果系数在较小的域E中的多项式f有零点)存在于较大域F中,则称此扩张是代数扩张e0, ..., em in E:

p(f) = emfm + em−1fm−1 + ... + e1f + e0 = 0.

这是一个事实,即每一个有限域扩张都是代数扩张(证明:在F中的x只是考虑x, x^2, x^3 ...我们得到一个线性相关,x总是多项式一个根)。特别在代数数域,任何一个代数数域F上的元素可以写作为一个零点有理系数多项式,因此,F的元素也被称为代数数

另见[编辑]

注释与参考[编辑]

  • Janusz, Gerald J., Algebraic Number Fields. 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society. 1996 1997, ISBN 978-0-8218-0429-2 
  • Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
  • Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
  • Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
  • Narkiewicz, Władysław, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics. 3, Berlin: Springer-Verlag. 2004, ISBN 978-3-540-21902-6 
    • ^ 蓝以中. 《高等代数简明教程》 第二版. 北京大学出版社. 2007.7: 9. ISBN 978-7-301-05370-6.