代数数域

有理数域$\mathbb{Q}$的有限扩张域叫作代数数域，简称为数域。若集合$K$中至少包含一个数域，且对其中数的加减乘除四则运算是封闭的，则称$K$为一个数域。 如果数域$K\subseteq \mathbb{R}$(实数域)，那么称它为实域，否则称为虚域。 作代数数域可视为]]$\mathbb{Q}$上的[向量空间]，是代数数论的中心主题。 定义代数数域从[向量空间]来理解，可以被认为是序列（或元组）组成：

(x₁, x₂, ...)

从一个定域，如域Q，可以通过添加域Q的扩域元素，一个接一个添加。此外，任何序列可以乘以一个的定域的单个元素c。这正是向量加法和[标量乘法]，满足向量空间中的抽象定义的属性。向量空间可以是“无穷维”，也就是说，构成向量空间的序列可无限长。如果由“有限”序列添加得出的向量空间，:(x₁, x₂, ..., x_n),就称有限维向量空间

例子

• 最小和最基本的'代数数域是Q有理数域。许多代数数域概念，如一般数域唯一分解，就来自“Q属性。

• 高斯有理数Q(i) (读 "Q 加 i"), ，是发现第一个非平凡代数数域的例子，它的元素的形式表达：

a+bi，a,b∈Q.

高斯有理数中::i² = −1.为虚单位，加和乘运算为：

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

(a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

非零高斯有理数元都可逆：

$(a+bi)\left(\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\right)=\frac{(a+bi)(a-bi)}{a^2+b^2}=1.$

高斯有理数域Q(i)是有理数域Q的2次扩张，也可看成有理数域上2维向量空间。

• 更普遍的，任何非平方的整数 d有二次域：

Q(√d)

是添加d的平方根到有理数域得到的一个扩域，与高斯有理数的运算定义类似，高斯有理数其实是二次域:: Q(√d) d = − 1的特例。

• 分圆域

Q(ζ_n), ζ_n = exp (2πi / n)

从有理数域Q添加n次根ζ_n获得. 分圆域包含所有复数的n次根，其在有理数域Q维数等于φ(n), 其中φ是欧拉函数。

• 实数R 和复数C==，

都是有理数域Q无穷维的向量空间，因此，都不是代数数域。因为实数R 和复数C作为集合都不可数，而每一个代数数域一定是可数集合。

• 有理数的有序对 Q² 加法和乘法是一个2维交换代数，但是，这不是一个代数数域，因为它具有零因子：

（1，0）（0，1）=（1·0,0·1）=（0，0）。

代数和整数环

一般来说，抽象代数中域的扩张F / E是代数，如果系数在较小的域E中的多项式f有根（零点）存在于较大域F中，则称此扩张是代数扩张： e₀, ..., e_m in E:

p(f) = e_mf^m + e_m−1f^m−1 + ... + e₁f + e₀ = 0.

这是一个事实，即每一个有限域扩张都是代数扩张（证明：在F中的x只是考虑x, x^2, x^3 ...我们得到一个线性相关，x总是多项式一个根）。特别在代数数域，任何一个代数数域F上的元素可以写作为一个零点有理系数多项式，因此，F的元素也被称为代数数。

另见

• 狄利克雷单位定理, S-单位
• 库默尔扩张
• 闵可夫斯基定理 几何数论
• Chebotarev稠密定理
• 射线类群
• 分解群
• 亏格域

注释与参考

• Janusz, Gerald J., Algebraic Number Fields. 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society. 1996 1997, ISBN 978-0-8218-0429-2 
• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
• Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
• Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
• Narkiewicz, Władysław, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics. 3, Berlin: Springer-Verlag. 2004, ISBN 978-3-540-21902-6 

• ^ 蓝以中. 《高等代数简明教程》 第二版. 北京大学出版社. 2007.7: 9. ISBN 978-7-301-05370-6. 

• Neukirch, Jürgen, Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin, New York: Springer-Verlag. 1999, ISBN 978-3-540-65399-8 
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlin, New York: Springer-Verlag. 2000, ISBN 978-3-540-66671-4 
• Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995