代数数域

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提示:本条目的主题不是数域

代数数域数学代数数论的基本概念,数域的一类,有时也被简称为数域,指有理数\mathbb{Q}有限扩张形成的扩域[1][2]。任何代数数域都可以视作\mathbb{Q}上的有限维向量空间

对代数数域的研究,或者更一般地说,对有理数域的代数扩张的研究,是代数数论的中心主题。

定义[编辑]

预备知识[编辑]

代数数域是的一类。域是装备了两个二元运算(通常称之为“加法”、“乘法”)的代数系统。这两种运算各自满足结合律交换律,完全可逆,同时乘法对加法满足分配律(详细定义参见)。域的一个重要的例子是有理数域\mathbb{Q}

域的扩张

域的扩张研究各类域之间的关系,最早的应用包括多项式方程一般求根公式问题等。在给定的域F中加入不属于此域的元素(一般以集合S纪录),规定相互间的运算法则后,“最小的”将它们都包含在内的域[N 1]L称为“F(添加S中元素得到)的扩域”。称FL的子域。一般将“FL的域扩张”记作FLL/F

向量空间

另一个基础概念是向量空间。向量空间,特别是有限维向量空间的概念是三维空间以及其中向量概念的推广(具体定义参见向量空间条目)。以某个域F为系数域的向量空间(通常称作F上的向量空间或F-向量空间),其中的向量除了可以相加减,还可以乘以F中元素进行放缩。有限维的向量空间可以借助其中的有限个向量来刻画。这些向量之间必须满足特定的条件,称为空间的。选定了空间的基以后,空间里的任何向量都可以表达为以F中元素组成的有序数组(x_1, x_2, \cdots , x_n)。其中的n是基中向量的个数,也称为空间的维数。

有限扩张

L是域F的一个扩域。将L中的元素看作向量,以F作为系数域,可以证明L是一个F-向量空间。如果这个向量空间是有限维的,就称LF的有限扩张。L作为F-向量空间的维数,称为扩张的次数,记作[L : F]

定义[编辑]

若域L是有理数域\mathbb{Q}的有限扩张,则称之为代数数域[3]:3

例子[编辑]

最小最基本的代数数域是有理数域\mathbb{Q}。因为\mathbb{Q}自身是\mathbb{Q}-向量空间,维数是1。因此\mathbb{Q}\mathbb{Q}自身的域扩张,[\mathbb{Q} : \mathbb{Q}] = 1.

高斯有理数\mathbb{Q}(i)i虚数单位)是数学家发现的第一个非平凡代数数域的例子,它是所有形同:

a + bi  , \; \; a, b \in \mathbb{Q}

的数构成的集合。可以证明,\mathbb{Q}(i)是域,而且是\mathbb{Q}-向量空间,以\{1, i \}为基,空间维数是2。所以\mathbb{Q}(i)\mathbb{Q}的二次扩张,[\mathbb{Q}(i) : \mathbb{Q}] = 2.

给定不是完全平方数正整数相反数不是完全平方数的负整数d二次域\mathbb{Q}(\sqrt{d})\mathbb{Q}中添加 d平方根而得的扩域。与高斯有理数域类似,可以证明\mathbb{Q}(\sqrt{d})\mathbb{Q}-向量空间,以\{1, \sqrt{d} \}为基,空间维数是2,即[\mathbb{Q}(\sqrt{d}) : \mathbb{Q}] = 2.

考虑多项式方程x^n = 1n个复根\xi_1, \xi_2, \cdots , \xi_n,它们被称做n次单位根,具体可以写作:

\xi_i = e^{\frac{2i\pi}{n}}, \; \; i \in \{0, 1, \cdots, n-1 \}.

\mathbb{Q}中添加\xi_1, \xi_2, \cdots , \xi_n得到的扩域称为n次分圆域,记作\mathbb{Q}(\xi_n)。可以证明\mathbb{Q}(\xi_n)是有限维\mathbb{Q}-向量空间,维数为\varphi(n)\varphi是数论中的欧拉函数),即[\mathbb{Q}(\xi_n) : \mathbb{Q}] = \varphi(n).

实数域\mathbb{R}复数域\mathbb{C}p进数域\mathbb{Q}_p都不是\mathbb{Q}的有限扩张,因此都不是代数数域。任何有限域都不是\mathbb{Q}的扩域,因此也不是代数数域。

全体规矩数构成的域\mathcal{C}和全体代数数构成的域\mathcal{A}(有时也被简称为代数数域,与本文主题同名,但不是同一个概念)不是\mathbb{Q}的有限扩张,因此都不是代数数域。

代数数域与代数数[编辑]

代数数是指能够成为某个有理数系数多项式(不是零多项式)的根的数。显然所有的有理数都是代数数[N 2]。给定一个代数数域L,依定义,域扩张\mathbb{Q} \subset  L是有限扩张。设其次数为正整数m[N 3]。将L看作是m\mathbb{Q}-向量空间,在L中任意选一个不属于\mathbb{Q}的数z,它可以被看作是m\mathbb{Q}-向量空间中的一个(非零)向量。考虑以下的m + 1个向量:

1, z, z^2, \cdots, z^m

它们都属于L。根据向量空间的性质,它们是线性相关的。即存在不全为零的m + 1个有理数:a_0, a_1, \cdots , a_m,使得:

a_0 + a_1 z + \cdots + a_m z^m = 0.

考虑非零多项式P = a_0 + a_1 X+ \cdots + a_m X^mP(z) = 0,即z是多项式P的根。所以z是代数数。由上可知,任一代数数域的元素都是代数数。

代数整数[编辑]

代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数[3]:4。显然代数整数是一种代数数。任何整数n都是一次整系数多项式X - n的根,因此是代数整数。给定代数数域FF中所有代数整数构成一个,称作F中的(代数)整数环,也称为F-整数环,记作\mathcal{O}_F。例如\mathbb{Q}上的代数整数环就是\mathbb{Z},因此在代数数域研究中\mathbb{Z}也被称作“有理整数”(有理数域中的整数),以区别于其余的代数整数。

代数数域F中的整数环\mathcal{O}_F\mathbb{Z}有不同的代数性质。\mathcal{O}_F不一定是唯一分解整环。举例来说,设F = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})F中的整数环是\mathcal{O}_F = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]2, 3, 1+\sqrt{-5}, 1-\sqrt{-5}都是\mathcal{O}_F中的“素数”[N 4]。正整数6,作为\mathcal{O}_F中的元素,它的素因数分解有两种方式:

6 = 2 \times 3 = \left(1+\sqrt{-5}\right) \times  \left(1 - \sqrt{-5}\right) .

有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。这个事实说明了拉梅对费马大定理的证明是错误的。为此库默尔等引进了理想数来作为弥补,由此发展出理想理论[4]。代数数论中一个重要的事实是:\mathcal{O}_F的每个理想都可以唯一表示为素理想的乘积,即为戴德金整环。这种“理想的唯一素分解”可部分弥补“代数整数一般不能唯一素因子分解”的不足,在历史上使代数数论发展起来[2]

代数数域的基[编辑]

整数基[编辑]

Fn次代数数域,F的整数基是任一由nF-整数组成的集合:

B = \{b_1, b_2, \cdots, b_n \}

使得任一个F-整数x都能唯一地表示为这nF-整数的整线性组合[N 5],即:

\forall x \in \mathcal{O}_F, \; \; \exists ! \; (m_1, m_2, \cdots, m_n) \in \mathbb{Z}^n,使得x = m_1 b_1 + m_2 b_2 + \cdots + m_n b_n.

换句话说,整数基B\mathcal{O}_F作为自由\mathbb{Z}-的基。给定F的一组整数基B,可以证明,所有F中元素x都可以唯一地表示为其中元素的有理线性组合,即:

\forall x \in F, \; \; \exists ! \; (q_1, q_2, \cdots, q_n) \in \mathbb{Q}^n,使得x = q_1 b_1 + q_2 b_2 + \cdots + q_n b_n.

这说明BF作为n\mathbb{Q}-向量空间的一组基。而且由于B中元素都是F-整数,故B名为整数基。此外可以证明,xF-整数当且仅当所有q_1, q_2, \cdots, q_n都是有理整数。

乘幂基[编辑]

Fn次代数数域。作为n\mathbb{Q}-向量空间,F包含如下形式的基:

B = \{ 1, \beta, \beta^2, \cdots , \beta^{n-1} \}

其中每个元素都是某个特定的数β乘幂。根据域扩张理论中的本原元定理,这样的β一定存在,称为域扩张\mathbb{Q} \subset F的本原元。如果β不仅是本原元,还是F-整数,那么这时B也是整数基,称作乘幂整数基,称F单衍域monogenic field)。

参见[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ “最小的”指所有同时包含FS的域的交集
  2. ^ 任意有理数q都是一次多项式X - q的根。
  3. ^ 此处假设这个域扩张不是平凡的,即L不是\mathbb{Q}自身,也即是说假设m大于1。
  4. ^ 即不能表示成另两个\mathcal{O}_F中的不等于1或-1的数的乘积,正式名称为不可约元素、既约元素或素元。
  5. ^ 在不计顺序的情况下。

参考来源[编辑]

  1. ^ 蓝以中. 《高等代数简明教程》 第二版. 北京大学出版社. 2007.7: 9. ISBN 978-7-301-05370-6. 
  2. ^ 2.0 2.1 张贤科. 代数数论介绍. 清华大学 数学科学系. [2014-05-26]. 
  3. ^ 3.0 3.1 David Hilbert. The Theory of Algebraic Number Fields. Springer(插图版). 1998. ISBN 9783540627791. 
  4. ^ 康明昌. 費馬問題. 數學傳播. 第7卷第4期, 第8卷第1期.