代数逻辑

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數理邏輯中,代數邏輯使用抽象代數方法形式化邏輯

邏輯作為代數構成的模型[编辑]

代數邏輯把邏輯當作特定代數結構構成的模型(解釋、釋義),特別是作為構成的模型,并因而是序理論的分支。

在代數邏輯中:

在下表中,左列包含一個或多個邏輯或數學系統,它是在右列展示的代數結構構成的模型。這些結構要么是布爾代數要么是它的嚴格擴展模態邏輯和其他非經典邏輯典型是“帶有算子的布爾代數”所構成的模型。

代數形式主義在至少以下方面超越了一階邏輯:

邏輯系統 構成模型的結構
经典命题演算 林登鲍姆-塔斯基代数

兩元素布爾代數

直覺命題邏輯 Heyting代數
模態邏輯 K 模態代數
LewisS4 內部代數
LewisS5

一元謂詞邏輯

一元布爾代數
一階邏輯 圓柱代數

多元代數 謂詞函子邏輯

集合論 組合子邏輯

關系代數

歷史[编辑]

代数逻辑有至少两种意义:

第一种含义开始于十九世纪中期的奥古斯都·德·摩根乔治·布尔的工作,接续于查尔斯·皮尔士,达到顶点于 Ernst Schröder 的工作。模型論的創立者 Leopold LoewenheimThoralf Skolem 是遵循代數傳統的邏輯學家。塔斯基是現代數理邏輯主要分支之一的集合論上的模型論的創立者,他在 1940 年的论文中重新阐述了 Schröder 的关系代数并简化了它的公理。这个论文可以被认为是现代抽象代数逻辑的起点。

代数逻辑可以证明开始于莱布尼兹在 1680 年代写的许多备忘录中,直到 1903 年才被 Louis Couturat 在莱布尼兹未发表的遗作中找到并出版。他的逻辑学著作在 Parkinson 和 Loemker 1969 年翻译成英語之前很少被研究。

在 1847 年奥古斯都·德·摩根乔治·布尔独立的出版了开启现代数理逻辑的小册子。他们和后来的查尔斯·皮尔士Hugh MacColl弗雷格皮亚诺伯特兰·罗素怀特海都共享了莱布尼兹的合并符号逻辑数学哲学的梦想。莱布尼兹方法的顶点被证明为开始于奥古斯都·德·摩根、发展于查尔斯·皮尔士Ernst Schröder关系代数,并在并塔斯基和他的学生的工作中达到了完全成熟。

上述提到的人物都没有受到莱布尼兹的影响。有一个例外是模态逻辑之父 Clarence Irving Lewis,他在 1918 年出版了莱布尼兹的逻辑学著作的一个重要片段的英文翻译。

引用[编辑]

  • Brady, Geraldine, 2000. From Peirce to Skolem: A neglected chapter in the history of logic. North-Holland.
  • Ivor Grattan-Guinness, 2000. The Search for Mathematical Roots. Princeton Univ. Press.
  • Lenzen, Wolfgang, 2004, "Leibniz’s Logic" in Gabbay, D., and Woods, J., eds., Handbook of the History of Logic, Vol. 3: The Rise of Modern Logic from Leibniz to Frege. North-Holland: 1-84.
  •  
  • Roger Maddux, 1991, "The Origin of Relation Algebras in the Development and Axiomatization of the Calculus of Relations," Studia Logica 50: 421-55.
  • Parkinson, G.H.R., 1966. Leibniz: Logical Papers. Oxford Uni. Press.
  • Willard Quine, 1976, "Algebraic Logic and Predicate Functors" in The Ways of Paradox. Harvard Univ. Press: 283-307.
  • Zalta, E. N., 2000, "A (Leibnizian) Theory of Concepts," Philosophiegeschichte und logische Analyse / Logical Analysis and History of Philosophy 3: 137-183.