代數幾何與解析幾何

在數學中，代數幾何與解析幾何是兩個關係密切的學科。代數幾何研究代數簇，在複數域上，同時也能以複分析及微分幾何的技術研究代數簇。讓-皮埃爾·塞爾在1956年的同名論文中比較了這兩種觀點。在 SGA 第一冊附錄中，則以概形論的語言重新表述。

性質的比較

給定一個 $\mathbb{C}$ 上的局部有限型概形 $X$，可以考慮相應的複解析空間 $X^\mathrm{an}$。此對應 $X \mapsto X^\mathrm{an}$ 定義一個從局部有限型概形範疇到複解析空間範疇的函子。對任一 $\mathcal{O}_X$-模 $F$，同樣可考慮相應的 $\mathcal{O}_{X^\mathrm{an}}$-模 $F^\mathrm{an}$，這也給出相應的函子。可以證明 $F \mapsto F^\mathrm{an}$ 是一個正合、忠實且保守的函子。

論證中用到的關鍵性質是：$\mathcal{O}_X$ 是平坦的 $\mathcal{O}_{X^\mathrm{an}}$-模。

拓撲性質比較

設 $T \subset X$ 為一局部可構子集（即：局部閉集的有限併集），以下 $T$ 的性質在 $X$ 中成立，若且唯若在 $X^\mathrm{an}$ 中成立：

• 開子集
• 閉子集
• 稠密子集

當 $X$ 為有限型態射時，對於 $X$ 及 $X^\mathrm{an}$ 本身，下述性質也是相通的：

• 連通
• 不可約

概形性質比較

以下性質對 $X$ 成立，若且唯若對 $X^\mathrm{an}$ 成立：

• 非空
• 離散
• 科恩-麥考利概形
• $S_n$
• $R_n$
• 正規
• 既約
• 維度等於 $n$

態射性質比較

設 $f: X \to Y$ 為概形的態射， $f^\mathrm{an}: X^\mathrm{an} \to Y^\mathrm{an}$ 為複解析空間的相應態射，則下述性質對 $f$ 成立若且唯若對 $f^\mathrm{an}$ 成立：

• 平坦
• 非分歧
• 平展
• 平滑
• 正規
• 既約
• 分離
• 單射（拓撲意義）
• 同構
• 單射（範疇論意義）
• 開浸入

若再要求 $f$ 是有限型態射，則可再加入下述性質：

• 滿射（拓撲意義）
• 優勢態射
• 閉浸入
• 浸入
• 真態射
• 有限態射

上同調比較

以下假設 $f: X \to Y$ 是真態射，對任一個凝聚 $\mathcal{O}_X$-模 $F$，有自然同構：

$(R^\bullet f_* F)^\mathrm{an} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} R^\bullet f_*^\mathrm{an} (F^\mathrm{an})$

當 $Y=\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}$ 時，遂有層上同調的比較定理：

$H^\bullet(X, F) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} H^\bullet(X^\mathrm{an}, F^\mathrm{an})$

此時 $F \mapsto F^\mathrm{an}$ 給出範疇的等價。

黎曼存在性定理

黎曼存在性定理則斷言：若 $X$ 是 $\mathbb{C}$-上的局部有限型概形，且 $\mathcal{X}' \to X^\mathrm{an}$ 是複解析空間的有限平展覆蓋，則存在 $\mathbb{C}$-概形 $X'$ 及平展態射 $X' \to X$，使得 $X'^\mathrm{an} \sim \mathcal{X}'$。此外，函子 $X' \mapsto X'^\mathrm{an}$ 給出從【$X$ 的有限平展覆蓋】到【$X^\mathrm{an}$ 的有限平展覆蓋】的範疇等價。

當 $X$ 為連通時，此定理的一個直接推論是代數基本群與拓撲基本群的比較定理：

$\widehat{\pi_1(X^\mathrm{an}, x_0)} \sim \pi_1^\mathrm{alg}(X, x_0)$

其中 $x_0 \in X(\mathbb{C})$，而 $\widehat{\pi_1(X^\mathrm{an}, x_0)}$ 表示代數基本群 $\pi_1(X^\mathrm{an}, x_0)$ 對有限指數子群的完備化。

文獻

• J. P. Serre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique." Annales de l'Institut Fourier 6, 1-42.
• Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud [1971] (2003). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Société Mathématique de France, xviii+327. ISBN 2-85629-141-4.