代數幾何與解析幾何

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數學中,代數幾何與解析幾何是兩個關係密切的學科。代數幾何研究代數簇,在複數域上,同時也能以複分析微分幾何的技術研究代數簇。讓-皮埃爾·塞爾在1956年的同名論文中比較了這兩種觀點。在 SGA 第一冊附錄中,則以概形論的語言重新表述。

性質的比較[编辑]

給定一個 \mathbb{C} 上的局部有限型概形 X,可以考慮相應的複解析空間 X^\mathrm{an}。此對應 X \mapsto X^\mathrm{an} 定義一個從局部有限型概形範疇到複解析空間範疇的函子。對任一 \mathcal{O}_X-模 F,同樣可考慮相應的 \mathcal{O}_{X^\mathrm{an}}-模 F^\mathrm{an},這也給出相應的函子。可以證明 F \mapsto F^\mathrm{an} 是一個正合、忠實且保守的函子。

論證中用到的關鍵性質是:\mathcal{O}_X平坦\mathcal{O}_{X^\mathrm{an}}-模。

拓撲性質比較[编辑]

T \subset X 為一局部可構子集(即:局部閉集的有限併集),以下 T 的性質在 X 中成立,若且唯若在 X^\mathrm{an} 中成立:

  • 開子集
  • 閉子集
  • 稠密子集

X 為有限型態射時,對於 XX^\mathrm{an} 本身,下述性質也是相通的:

概形性質比較[编辑]

以下性質對 X 成立,若且唯若對 X^\mathrm{an} 成立:

態射性質比較[编辑]

f: X \to Y 為概形的態射, f^\mathrm{an}: X^\mathrm{an} \to Y^\mathrm{an} 為複解析空間的相應態射,則下述性質對 f 成立若且唯若對 f^\mathrm{an} 成立:

  • 平坦
  • 非分歧
  • 平展
  • 平滑
  • 正規
  • 既約
  • 分離
  • 單射(拓撲意義)
  • 同構
  • 單射(範疇論意義)
  • 開浸入

若再要求 f 是有限型態射,則可再加入下述性質:

  • 滿射(拓撲意義)
  • 優勢態射
  • 閉浸入
  • 浸入
  • 真態射
  • 有限態射

上同調比較[编辑]

以下假設 f: X \to Y真態射,對任一個凝聚 \mathcal{O}_X-模 F,有自然同構:

(R^\bullet f_* F)^\mathrm{an} \stackrel{\sim}{\longrightarrow} R^\bullet f_*^\mathrm{an} (F^\mathrm{an})

Y=\mathrm{Spec}\,\mathbb{C} 時,遂有層上同調的比較定理:

H^\bullet(X, F) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} H^\bullet(X^\mathrm{an}, F^\mathrm{an})

此時 F \mapsto F^\mathrm{an} 給出範疇的等價。

黎曼存在性定理[编辑]

黎曼存在性定理則斷言:若 X\mathbb{C}-上的局部有限型概形,且 \mathcal{X}' \to X^\mathrm{an} 是複解析空間的有限平展覆蓋,則存在 \mathbb{C}-概形 X' 及平展態射 X' \to X,使得 X'^\mathrm{an} \sim \mathcal{X}'。此外,函子 X' \mapsto X'^\mathrm{an} 給出從【X 的有限平展覆蓋】到【X^\mathrm{an} 的有限平展覆蓋】的範疇等價。

X 為連通時,此定理的一個直接推論是代數基本群與拓撲基本群的比較定理:

\widehat{\pi_1(X^\mathrm{an}, x_0)} \sim \pi_1^\mathrm{alg}(X, x_0)

其中 x_0 \in X(\mathbb{C}),而 \widehat{\pi_1(X^\mathrm{an}, x_0)} 表示代數基本群 \pi_1(X^\mathrm{an}, x_0) 對有限指數子群的完備化

文獻[编辑]

  • J. P. Serre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique." Annales de l'Institut Fourier 6, 1-42.
  • Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud [1971] (2003). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Société Mathématique de France, xviii+327. ISBN 2-85629-141-4.