代數擴張

在抽象代數中，一個域擴張$L \supset K$（通常記作$L/K$）被稱作代數擴張，若且唯若每個$L$的元素都是在$K$上代數的，即：滿足一個係數佈於$K$的非零多項式。反之則稱超越擴張。最簡單的代數擴張包括 $\mathbb{C}/\mathbb{R}$、$\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$。

次數

設$L/K$為任意的域擴張，$L$可以看作是$K$上的向量空間。定義$[L:K]$為其維度，稱作這個擴張的次數。有限次數的擴張（簡稱有限擴張）都是代數擴張；反之，給定一個代數擴張$L/K$，則$L$裡的任一元素都落在一個有限子擴張內，因此一個代數擴張可表作有限子擴張的歸納極限。

代數擴張與多項式的根

在一個代數擴張$L/K$中，$L$裡的每個元素$\alpha$都是某個多項式 $f \in K[X]$ 的根；這些多項式中次數最低者稱作$\alpha$的最小多項式（通常要求領導係數等於一，以保證唯一性）。最小多項式總是不可约多項式。

若 $f \in K[X]$ 不可約，則商環$L := K[X]/(f)$是$K$的一個域擴張，$[L:K] = \mathrm{deg}(f)$，而且變元$X$的象是在$f$在$L$中的一個根，其最小多項式正是$f$。通過這種構造，我們可抽象地加入某個多項式的根。例如$\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$不外就是複數域$\mathbb{C}$。

當$f \in K[X]$在$L$中分解成一次因子的積，則稱$f$在$L$中分裂。根據上述構造，總是可以找到一個夠大的代數擴張$K'/K$使得 $f$ 分裂；$K'$裡滿足此性質的最小子擴張稱作$f$的分裂域，$f$ 的任兩個分裂域至多差一個$K$上的同構（即：一個限制在$K$上為恆等映射的環同構）。

正規擴張

一個代數擴張$L/K\,$被稱作正規擴張，若且唯若它滿足下述三個等價條件之一：

• 固定代數閉包$K^{\rm{alg}}$，任何$K$上的（即在$K\,$上是恆等映射的）域嵌入 $\sigma: L \rightarrow K^\mathrm{alg}$ 皆有 $\sigma(L)=L\,$。
• 存在一族在$L\,$上分裂的多項式$(f_i)_{i \in I} \subset K[X]$，使得$L/K\,$由它們的根與 $K\,$ 生成。
• 任何不可約多項式 $f \in K[X]$若在$L$裡有根，則在$L$裡分裂。

例子

• $x^2 + 1\,$ 在$\mathbb{R}$上的分裂域是$\mathbb{C}$。
• $x^3 + 2\,$ 在$\mathbb{Q}$上的分裂域是$\mathbb{Q}( e^{\frac{2}{3}\pi{\rm{i}} }, \sqrt[3]{2})$。
• $(x^2 - 2)(x^2 - 3)\,$ 在$\mathbb{Q}$上的分裂域是$\mathbb{Q}( \sqrt{2}, \sqrt{3} ) = \mathbb{Q}( \sqrt{2} + \sqrt{3} )$。
• $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/ \mathbb{Q}$ 是正規域擴張， $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/ \mathbb{Q}$卻不是，因為後者並沒有包括$x^3-2\,$的所有根，欠了$\sqrt[3]{2} e^{\frac{2}{3}\pi{\rm{i}}}, \sqrt[3]{2} e^{- \frac{2}{3}\pi{\rm{i}}}$。

可分擴張

設$L/K$為代數擴張，如果$\alpha$的最小多項式沒有重根，則稱$\alpha$可分（重根的存在性與域擴張的選取無關，可分性等價於$(f\ ,\ f')\ =1$，這可以直接在$K$中計算）。所有可分元素形成一個域$L \supset L_s \supset K$，$[L:K]_s := [L_s: K]$稱作可分次數。若$L_s=L$則稱$L/K$是可分擴張。

當$L/K$是有限擴張時，定義不可分次數$[L:K]_i := [L:K]/[L:K]_s$。當特徵為零時，任何代數擴張都是可分的；任何有限域的擴張也都是可分的。

伽羅瓦擴張

一個正規而且可分的代數擴張稱作伽羅瓦擴張，此時將$L$在$K$上的自同構群記為$\mathrm{Gal}(L/K) := \mathrm{K}$，稱作$L/K$的伽羅瓦群。就現代的觀點，伽羅瓦理論研究的乃是$\{L/K' : K' \supset K \}$與$\mathrm{Gal}(L/K)$的子群的對應關係，此對應可用伽羅瓦連接抽象地概括。

當伽羅瓦擴張 $L/K$ 的伽羅瓦群是阿貝爾群時，此擴張稱作是阿貝爾擴張。類域論為數域與局部域的阿貝爾擴張提供了精細的描述。

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• 簡介 Galois 理論 /李華介

文獻

• Serge Lang, Algebra (2002), Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X