代數擴張

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抽象代數中,一個擴張L \supset K(通常記作L/K)被稱作代數擴張,若且唯若每個L的元素都是在K上代數的,即:滿足一個係數佈於K的非零多項式。反之則稱超越擴張。最簡單的代數擴張包括 \mathbb{C}/\mathbb{R}\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}

次數[编辑]

L/K為任意的域擴張,L可以看作是K上的向量空間。定義[L:K]為其維度,稱作這個擴張的次數。有限次數的擴張(簡稱有限擴張)都是代數擴張;反之,給定一個代數擴張L/K,則L裡的任一元素都落在一個有限子擴張內,因此一個代數擴張可表作有限子擴張的歸納極限

代數擴張與多項式的根[编辑]

在一個代數擴張L/K中,L裡的每個元素\alpha都是某個多項式 f \in K[X] 的根;這些多項式中次數最低者稱作\alpha最小多項式(通常要求領導係數等於一,以保證唯一性)。最小多項式總是不可约多項式。

f \in K[X] 不可約,則商環L := K[X]/(f)K的一個域擴張,[L:K] = \mathrm{deg}(f),而且變元X的象是在fL中的一個根,其最小多項式正是f。通過這種構造,我們可抽象地加入某個多項式的根。例如\mathbb{R}[X]/(X^2+1)不外就是複數域\mathbb{C}

f \in K[X]L中分解成一次因子的積,則稱fL中分裂。根據上述構造,總是可以找到一個夠大的代數擴張K'/K使得 f 分裂;K'裡滿足此性質的最小子擴張稱作f分裂域f 的任兩個分裂域至多差一個K上的同構(即:一個限制在K上為恆等映射的環同構)。

正規擴張[编辑]

一個代數擴張L/K\,被稱作正規擴張,若且唯若它滿足下述三個等價條件之一:

  • 固定代數閉包K^{\rm{alg}},任何K上的(即在K\,上是恆等映射的)域嵌入 \sigma: L \rightarrow K^\mathrm{alg} 皆有 \sigma(L)=L\,
  • 存在一族在L\,上分裂的多項式(f_i)_{i \in I} \subset K[X],使得L/K\,由它們的根與 K\, 生成。
  • 任何不可約多項式 f \in K[X]若在L裡有根,則在L裡分裂。

例子[编辑]

  • x^2 + 1\,\mathbb{R}上的分裂域是\mathbb{C}
  • x^3 + 2\,\mathbb{Q}上的分裂域是\mathbb{Q}( e^{\frac{2}{3}\pi{\rm{i}} }, \sqrt[3]{2})
  • (x^2 - 2)(x^2 - 3)\,\mathbb{Q}上的分裂域是\mathbb{Q}( \sqrt{2}, \sqrt{3} ) = \mathbb{Q}( \sqrt{2} + \sqrt{3} )
  •  \mathbb{Q}(\sqrt{2})/ \mathbb{Q} 是正規域擴張, \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/ \mathbb{Q}卻不是,因為後者並沒有包括x^3-2\,的所有根,欠了\sqrt[3]{2} e^{\frac{2}{3}\pi{\rm{i}}}, \sqrt[3]{2} e^{- \frac{2}{3}\pi{\rm{i}}}

可分擴張[编辑]

L/K為代數擴張,如果\alpha的最小多項式沒有重根,則稱\alpha可分(重根的存在性與域擴張的選取無關,可分性等價於(f\ ,\ f')\ =1,這可以直接在K中計算)。所有可分元素形成一個域L \supset L_s \supset K[L:K]_s := [L_s: K]稱作可分次數。若L_s=L則稱L/K可分擴張

L/K是有限擴張時,定義不可分次數[L:K]_i := [L:K]/[L:K]_s。當特徵為零時,任何代數擴張都是可分的;任何有限域的擴張也都是可分的。

伽羅瓦擴張[编辑]

一個正規而且可分的代數擴張稱作伽羅瓦擴張,此時將LK上的自同構群記為\mathrm{Gal}(L/K) := \mathrm{K},稱作L/K伽羅瓦群。就現代的觀點,伽羅瓦理論研究的乃是\{L/K' : K' \supset K \}\mathrm{Gal}(L/K)的子群的對應關係,此對應可用伽羅瓦連接抽象地概括。

當伽羅瓦擴張 L/K 的伽羅瓦群是阿貝爾群時,此擴張稱作是阿貝爾擴張類域論數域局部域的阿貝爾擴張提供了精細的描述。

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文獻[编辑]