代數曲線

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代數幾何中,一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面 \mathbb{P}^2 上由一個齊次多項式 f(X,Y) 定義的零點。

仿射曲線[编辑]

定義在 F 上的仿射代數曲線可以看作是 F^n 中由若干個 n-元多項式 g_i \in F[x_1, \ldots, x_n] 定義的公共零點,使得其维数為一。

利用結式,我們可以將變數消至兩個,並化約到與之雙有理等價的平面代數曲線 f(x,y)=0,其中 f \in F[x,y],因此在探討曲線的雙有理幾何時僅須考慮平面曲線。

射影曲線[编辑]

射影空間中的曲線可視作仿射曲線的緊化,它們帶有更好的幾何性質。在以上考慮的方程 g_i = 0i=1, \ldots, n-1) 中,我們作代換:

g_i(x_1, \ldots, x_n) \longrightarrow (X_0)^{\deg g_i} g_i\left(\frac{X_1}{X_0}, \ldots, \frac{X_n}{X_0}\right)

遂得到 n-1 個齊次多項式,它們在射影空間 \mathbb{P}^n_F 中定義一條曲線,此射影曲線與開集 U_0 := \{(X_0: \cdots: X_n) | X_0 \neq 0 \} 的交集同構於原曲線。射影曲線的例子包括 \mathbb{P}^3_{\mathbb{Q}} 中的費馬曲線 X^n + Y^n + Z^n=0,其上的有理點對應到費馬方程 X^n+Y^n=Z^n 的互素整數解。

代數函數域[编辑]

代數曲線之研究可化約為不可約代數曲線之研究,後者的範疇在雙有理等價之意義下等價於代數函數域範疇。域 F 上的函數域 K超越次數為一的有限型域擴張,換言之:存在元素 x \in K 使得 xF超越,而且 K/F(x)有限擴張

以複數域 \mathbb{C} 為例,我們可以定義複係數有理函數\mathbb{C}(x)。變元 x, y 對代數關係  y^2 =x^3-x-1 生成的域 \mathbb{C}(x,y) 是一個橢圓函數域,代數曲線  \{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : y^2 = x^3 - x - 1 \} 給出它的一個幾何模型。

若基 F代數封閉域,則函數域無法只由多項式的零點描述,因為此時存在無點的曲線。例如可取實數域 F := \mathbb{R} 並考慮其上的代數曲線 x^2 + y^2 + 1 = 0,此方程定義了一個 \mathbb{R}[x] 的有限擴張,因而定義了一個函數域,然而

\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 + 1 = 0 \} = \emptyset

代數封閉域上的代數曲線可以用代數簇完整地描述,對於一般的基域或者上的曲線論,概形論能提供較合適的框架。

複代數曲線與黎曼曲面[编辑]

複射影曲線可以嵌入 n 維複射影空間 \mathbb{C}P^n。複射影曲線在拓撲上為二維的對象,當曲線光滑時,它是個緊黎曼曲面,即一維的緊複流形,因而是可定向的二維緊流形。這時該曲面的拓撲虧格(直觀說就是曲面有幾個洞或把手)等同於曲線上由代數幾何學定義的虧格。視這類曲線為黎曼曲面,則可以採複分析手法加以研究。另一方面,黎曼則證明了任何緊黎曼曲面都同構於一條複射影曲線。

於是我們有三個相互等價的範疇:複數域上的不可約平滑射影曲線、緊黎曼曲面與 \mathbb{C} 上的函數域。因此一維複分析(包括位勢論)、代數幾何論的方法此時能相互為用,這是高等數學裡很常見的現象。

奇點[编辑]

判斷方式[编辑]

曲線在一點 P 的平滑性可以用雅可比矩陣判斷。以下考慮嵌於 \mathbb{P}^n 中的曲線:設該曲線由 n-1n+1 個變元的齊次多項式 g_1, \ldots, g_{n-1} 定義,若其雅可比矩陣 \left(\frac{\partial g_i}{\partial x_j}\right)_{i,j} 在區線上一點 P 滿秩,則稱它 P 點光滑;反之則稱為奇點。在一點的平滑性與多項式 g_1, \ldots, g_{n-1} 的選取無關,也與曲線的嵌入方式無關。

在平面射影曲線的例子,假設曲線 C 由齊次方程式 f(x,y,z)=0 定義,則 C 的奇點恰為 C 上使得 \nabla f 為零的點,即:

\frac{ \partial f }{ \partial x }(P)=\frac{ \partial f }{ \partial y }(P)=\frac{ \partial f }{ \partial z }(P)=0 \quad (P \in C)

在特徵非零的域上,一條代數曲線僅有有限個奇點;無奇點的曲線即平滑曲線。奇點在雙有理映射下可能映為光滑點;事實上,奇點總是可藉著平面的拉開映射或正規化解消,由此得到的新平滑曲線仍雙有理等價於原曲線;然而對代數封閉域上的射影曲線,其奇點總數則關係到曲線的幾何虧格,後者是個雙有理不變量。

奇點分類[编辑]

x3 = y2

曲線的奇點包括多重點(這是曲線的自交點)及尖點(如仿射曲線 x^3=y^2 之於原點 (0,0),見右圖)等等。一般來說,仿射平面曲線 f(x,y)=0 在一點 P 的奇點性質可以透過下述方式理解:

透過平移,不妨假設 P=(0,0)。將多項式 f(x,y) 寫成

 f(x,y) = \sum_{n \geq 1} f_n(x,y)

其中 f_n(x,y)n齊次多項式。直觀地想像,f(x,y)=0 在原點附近的性狀僅決定於最低次的非零項,設之為 f_m(x,y)。根據齊次性可以將之分解成

 f_m(x,y) = \prod _{i=1}^m (a_i x - b_i y)

換言之,曲線在原點附近將近似於 m 條(含重複)直線 a_i x - b_i y = 0 的聯集。上式中相異的直線數 r 稱作分支數,正整數 m 稱作平面曲線在該點的重數,此外還有一個內在的不變量 \delta_P := \dim \mathcal{O}_{\tilde{C},P}/\mathcal{O}_{C,P},其中 \tilde{C} \rightarrow C 是該曲線的正規化態射。資料 [m, δ, r] 能夠被用來分類奇點。例如一般尖點對應到 [2,1,1]一般雙重點對應到 [2,1,2],而一般n重點則對應到 [n,\frac{n(n-1)}{2}, n]

各奇點的不變量 δP決定平面曲線 f(x,y)=0 的虧格:設 \deg f = d,則有

g = \frac{1}{2}(d-1)(d-2) - \sum_P \delta_P,

對於在複數域上的平面曲線,John Milnor 以拓撲方式定義了不變量 μ,稱為Milnor 數 :同樣假設 P=(0,0),在原點附近夠小的四維球 B_\epsilon := \{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : |x|^2+|y|^2 < \epsilon \} 內有 (x,y) \neq (0,0) \Rightarrow \nabla f(x,y) \neq 0,此時有連續映射

 \nabla f(x,y) : B_\epsilon - \{(0,0)\} \rightarrow  B_\epsilon - \{(0,0)\}

由於 B_\epsilon - \{(0,0)\} 同倫等價於三維球面 \mathbb{S}^3,於是可定義 μ 為此映射的拓撲次數。μ 與前述不變量的關係由下式表明:

\mu = 2\delta -r + 1

事實上,\{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : f(x,y)=0 \} \cap \{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : |x|^2+|y|^2 = \epsilon \} 在 ε 夠小時是 \{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 : |x|^2+|y|^2 = \epsilon \} \cong \mathbb{S}^3 中的一個環圈,稱作奇點環圈,它具有複雜的拓撲性質。例如:x^3=y^2 在尖點附近的奇點環圈是三葉結

曲線的例子[编辑]

有理曲線[编辑]

F 上的有理曲線雙有理等價於射影直線 \mathbb{P}^1_F 的曲線,換言之,其函數域同構於單變元有理函數域 F(t)。當 F 代數封閉時,這也等價於該曲線之虧格為零,對一般的域則不然;實數域上由 x^2+y^2+1=0 給出的函數域虧格為零,而非有理函數域。

具體地說,一條有理曲線是能以有理函數參數化的曲線,例子請見條目有理正規曲線

任何 F 上有有理點的圓錐曲線都是有理曲線。參數化的過程如下:過給定有理點 P 而斜率為 t 的直線交平面上一條二次曲線於兩點,就 x 坐標來說,交點的 x 坐標是一個二次多項式的根,其中一個屬於 F 的根已知,即 P 的 x 坐標;因此透過根與係數的關係得知另一根也屬於 F,而且能表作 tF 上的有理函數。y 坐標的作法相同。

x2 + xy + y2 = 1

. 考慮斜橢圓 E: x^2+xy+y^2=1,其中 (-1,0) 是有理點。畫一條過該點且斜率為 t 之直線 y=t(x+1),並帶入 E 的等式,於是得到:

x = \frac{1-t^2}{1+t+t^2}.
y=t(x+1)=\frac{t(t+2)}{1+t+t^2}

這就給出 E 的有理參數化,於是證明了 E 是有理曲線。

將此結果置於射影幾何的框架下,則能導出若干數論的結論。例如我們可在 E 中加入無窮遠點,得到射影曲線

X^2+XY+Y^2=Z^2 \,\!

以上參數化遂表為

X=1-t^2,\quad Y=t(t+2),\quad Z=t^2+t+1 \,\!

若取 t 為整數,對應的 X,Y,Z不定方程 X^2+XY+Y^2=Z^2 的整數解;若將 X 代以 -X,則此方程詮釋為 θ=60° 時的餘弦定理,藉此能描述所有一角為 60° 且邊長均為整數的三角形,例如取 t=2,就得到邊長分別為 X=3, Y=8, Z=7 的三角形。

橢圓曲線[编辑]

橢圓曲線可以定義為任意虧格等於一且給定一個有理點的代數曲線,它們都同構於平面上的三次曲線。此時通常取無窮遠處的反曲點為給定的有理點,這時該曲線可以寫作射影版本的 Tate-魏爾施特拉斯形式:

y^2z + a_1 xyz + a_3 yz^2 = x^3 + a_2 x^2z + a_4 xz^2 + a_6 z^3. \,\!

橢圓曲線帶有唯一的阿貝爾群結構,使得給定有理點為單位元素,且加法為代數簇的態射,因而橢圓曲線構成一個阿貝爾簇。在三次平面曲線的情形,三點和為零若且唯若它們共線。對於複數域上的橢圓曲線,此阿貝爾簇同構於 \mathbb{C}/\Lambda,其中的 \Lambda 由相應的橢圓函數給出。

虧格大於一的曲線[编辑]

對虧格大於一的曲線,其性質與有理曲線與橢圓曲線有顯著不同。根據 Falting 定理,定義在數域上的這類曲線只有有限個有理點;若視為黎曼曲面,它們則帶有雙曲幾何的結構。例子包括超橢圓曲線克萊因四次曲線與一開始提到的費馬曲線在 n \geq 3 的情形。

文獻[编辑]

  • Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, Plane Algebraic Curves, John Stillwell, trans., Birkhäuser, 1986
  • Claude Chevalley, Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable, American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951
  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces, Springer, 1980
  • Phillip A. Griffiths, Introduction to Algebraic Curves, Kuniko Weltin, trans., American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs volume 70, 1985 revision
  • Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer, 1977
  • Shigeru Iitaka, Algebraic Geometry: An Introduction to the Birational Geometry of Algebraic Varieties, Springer, 1982
  • John Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces, Princeton University Press, 1968
  • George Salmon, Higher Plane Curves, Third Edition, G. E. Stechert & Co., 1934
  • Jean-Pierre Serre, Algebraic Groups and Class Fields, Springer, 1988