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代數獨立

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抽象代數裡,一個L子集S若被稱做代數獨立於一子體K的話,表示S內的元素都不符合係數包含在K內的非平凡多項式。這表示任何以S內元素排成的有限序列α1, ..., αn(沒有兩個是一樣的)和任一係數包含在K的非零多項式P(x1, ..., xn),都會得到

P1,...,αn) ≠ 0

的結果。

特別的是,單元素集合 {α} 若是代數獨立於K的話,若且唯若α會是K內的超越數超越函數。一般而言,和於K代數獨立集合的所有元素也必然會是K內的超越數或超越函數,但反之則不必然。

舉例來說,實數R的子集{√π, 2π+1}並代數獨立於有理數Q,當存在一非零多項式


P(x_1,x_2)=2x^2_1-x_2+1

x1代入√π和x2代入2π+1時會變成零。

林德曼-魏爾斯特拉斯定理時常用做證明某些函數會代數獨立於有理數。其內容為,當α1,...,αn線性獨立於有理數的代數數時,eα1,...,eαn便會代數獨立於有理數。

現在依然沒有證明出集合{π, e}是否代數獨立於有理數。Nesterenko在1996年證明了{π, eπ, Γ}是代數獨立於有理數的。

給定一體擴張L/K,我們可以利用佐恩引理來證明總是存在一L的最大代數獨立子集於K。甚至,所有個最大代數獨立子集都會有相同的基數,稱之為此一體擴張的超越次數