伊藤引理

在随机分析中，伊藤引理（Ito's lemma）是一条非常重要的性质。發現者為日本數學家伊藤清，他指出了对于一个随机过程的函数作微分的规则。

伊藤引理较早版本

第一引理

设布朗运动$W_t$以及二次可导函数$f$，以下等式成立：

$df(W_t) = f'(W_t)dW_t + \frac{1}{2} f''(W_t)dt$

其主要可通过对多项式环到形式幂级数的拓展，例如：

$de^{W_t^2}= 2W_t e^{W_t^2} dW_t + (e^{W_t^2} + 2W_t^2 e^{W_t^2} )dt$

第二引理

设布朗运动$W_t$以及二次可导函数$f$，以下等式成立：

$df = \frac{\partial f}{\partial W_t} dW_t + \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial W_t^2}\right)dt$

第三引理

定义伊藤過程 又称扩散过程 $\{X_t \}$ 有以下特性：

$dX_t = f(X_t , t) dW_t + g(X_t, t) dt$

$dh = \frac{\partial h}{\partial X_t}f(X_t ,t) dW_t + \left\{\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial h}{\partial X_t}g(X,t) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 h}{\partial X_t^2}(f(X_t ,t))^2 \right\} dt$}}

到半鞅的拓展

连续半鞅

$df(X_t) = \sum_{i=1}^d f_{i}(X_t)\,dX^i_t + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^df_{i,j}(X_t)\,d[X^i,X^j]_t.$

不连续半鞅

$\begin{align} f(X_t)= & f(X_0)+\sum_{i=1}^d\int_0^t f_{i}(X_{s-})\,dX^i_s + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d \int_0^t f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^i,X^j]_s\\ &{} + \sum_{s\le t}\left(\Delta f(X_s)-\sum_{i=1}^df_{i}(X_{s-})\,\Delta X^i_s-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X^i_s \, \Delta X^j_s\right). \end{align}$

泊松过程

我们也可以定义非连续随机过程的函数。

定义跳跃强度h，根据跳跃的泊松过程模型，在区间$[t,\ t + \Delta t]$上出现一次跳跃的概率是$h \Delta t$ 加上$\Delta t$的高阶无穷小量。h可以是常数、显含时间的确定性函数，或者是随机过程。在区间$[0,t]$上没有跳跃的概率称为生存概率$p_s(t)$，其变化是：

$d p_s(t) = -p_s(t) h(t) \, dt.$

因此生存概率为：

$p_s(t) = \exp \left(-\int_0^t h(u) \, du \right).$

定义非连续随机过程$S(t)$，并把$S(t^-)$记为从左侧到达t时S的值，记$d_j S(t)$是一次跳跃导致$S(t)$的非无穷小变化。有：

$d_j S(t)=\lim_{\Delta t \to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^-))$

$\eta(S(t^-),z)$是跳跃幅度z的概率分布，跳跃幅度的期望值是：

$E[d_j S(t)]=h(S(t^-)) \, dt \int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz.$

定义补偿过程和鞅$d J_S(t)$：

$d J_S(t)=d_j S(t)-E[d_j S(t)]=S(t)-S(t^-)-(h(S(t^-)) \int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz) \, dt.$

因此跳跃的非无穷小变化，也就是随机过程的跳跃部分可以写为：

$d_j S(t) = E[d_j S(t)] + d J_S(t) = h(S(t^-)) (\int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz) dt + d J_S(t).$

因此如果随机过程$S$同时包含漂移、扩散、跳跃三部分，可以写为：

$d S(t) = \mu dt + \sigma dW(t) + d_j S(t).$

考虑其函数$g(S(t),t)$。$S(t)$跳跃$\Delta s$的幅度，会导致$g(t)$跳跃$\Delta g$幅度。$\Delta g$取决于g的跳跃分布$\eta_g()$，有可能依赖于跳跃前的函数值$g(t^-)$，函数微分dg以及跳跃前的自变量值$S(t^-)$。$g$的跳跃部分是：

$\begin{align} g(t)-g(t^-) & =h(t) \, dt \int_{\Delta g} \, \Delta g \eta_g(\cdot) \, d\Delta g + d J_g(t). \end{align}$

函数$g(S(t),t)$的伊藤引理是：

$\begin{align} d g(t) & = \left( \frac{\partial g}{\partial t}+\mu \frac{\partial g}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 g}{\partial S^2}+h(t)\int_{\Delta g} (\Delta g \eta_g(\cdot) \, d{\Delta}g) \, \right) dt + \frac{\partial g}{\partial S} \sigma \, d W(t) + d J_g(t). \end{align}$

可以看到，漂移-扩散过程与跳跃过程之和的伊藤引理，恰恰是各自部分伊藤引理的和。

应用例子

伊藤引理是研究随机过程和解随机微分方程的重要特性，在金融数学里有广泛的应用。例如布莱克-斯科尔斯模型

$df(t,S_t) = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\left(S_t\sigma\right)^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)\,dt +\frac{\partial f}{\partial S}\,dS_t.$

$dV_t = r\left(V_t-\frac{\partial f}{\partial S}S_t\right)\,dt + \frac{\partial f}{\partial S}\,dS_t.$

$\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} + rS\frac{\partial f}{\partial S}-rf = 0.$

參考資料

• Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
• PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
• Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy