伊藤引理

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随机分析中,伊藤引理(Ito's lemma)是一条非常重要的性质。發現者為日本數學家伊藤清,他指出了对于一个随机过程的函数作微分的规则。

伊藤引理较早版本[编辑]

第一引理[编辑]

布朗运动 W_t 以及二次可导函数f,以下等式成立:

df(W_t) = f'(W_t)dW_t + \frac{1}{2} f''(W_t)dt

其主要可通过对多项式环形式幂级数的拓展,例如:

de^{W_t^2}= 2W_t e^{W_t^2} dW_t + (e^{W_t^2} + 2W_t^2 e^{W_t^2} )dt

第二引理[编辑]

布朗运动 W_t 以及二次可导函数f,以下等式成立:

df = \frac{\partial f}{\partial W_t} dW_t + \left(\frac{\partial f}{\partial t}  + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial W_t^2}\right)dt

第三引理[编辑]

定义伊藤過程 又称扩散过程 \{X_t \} 有以下特性:

dX_t = f(X_t , t) dW_t + g(X_t, t) dt


dh = \frac{\partial h}{\partial X_t}f(X_t ,t) dW_t + \left\{\frac{\partial h}{\partial t}  + \frac{\partial h}{\partial X_t}g(X,t) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 h}{\partial X_t^2}(f(X_t ,t))^2 \right\} dt
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半鞅的拓展[编辑]

连续半鞅[编辑]

df(X_t) = \sum_{i=1}^d f_{i}(X_t)\,dX^i_t + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^df_{i,j}(X_t)\,d[X^i,X^j]_t.

不连续半鞅[编辑]


\begin{align}
f(X_t)= & f(X_0)+\sum_{i=1}^d\int_0^t f_{i}(X_{s-})\,dX^i_s + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d \int_0^t f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^i,X^j]_s\\
&{} + \sum_{s\le t}\left(\Delta f(X_s)-\sum_{i=1}^df_{i}(X_{s-})\,\Delta X^i_s-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X^i_s \, \Delta X^j_s\right).
\end{align}

泊松过程[编辑]

我们也可以定义非连续随机过程的函数。

定义跳跃强度h,根据跳跃的泊松过程模型,在区间[t,\ t + \Delta t]上出现一次跳跃的概率是h \Delta t 加上 \Delta t的高阶无穷小量。h可以是常数、显含时间的确定性函数,或者是随机过程。在区间[0,t]上没有跳跃的概率称为生存概率p_s(t),其变化是:

d p_s(t) = -p_s(t) h(t) \, dt.

因此生存概率为:

p_s(t) = \exp \left(-\int_0^t h(u) \, du \right).

定义非连续随机过程S(t),并把S(t^-)记为从左侧到达tS的值,记d_j S(t)是一次跳跃导致S(t)的非无穷小变化。有:

d_j S(t)=\lim_{\Delta t \to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^-))

\eta(S(t^-),z)是跳跃幅度z概率分布,跳跃幅度的期望值是:

E[d_j S(t)]=h(S(t^-)) \, dt \int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz.

定义补偿过程和d J_S(t)

d J_S(t)=d_j S(t)-E[d_j S(t)]=S(t)-S(t^-)-(h(S(t^-)) \int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz) \, dt.

因此跳跃的非无穷小变化,也就是随机过程的跳跃部分可以写为:

d_j S(t) = E[d_j S(t)] + d J_S(t) = h(S(t^-)) (\int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz) dt + d J_S(t).

因此如果随机过程S同时包含漂移、扩散、跳跃三部分,可以写为:

d S(t) = \mu dt + \sigma dW(t) + d_j S(t).

考虑其函数g(S(t),t)S(t)跳跃\Delta s的幅度,会导致g(t)跳跃\Delta g幅度。\Delta g取决于g的跳跃分布\eta_g(),有可能依赖于跳跃前的函数值g(t^-),函数微分dg以及跳跃前的自变量值S(t^-)g的跳跃部分是:


\begin{align}
g(t)-g(t^-) & =h(t) \, dt \int_{\Delta g} \, \Delta g \eta_g(\cdot) \, d\Delta g + d J_g(t).
\end{align}

函数g(S(t),t)的伊藤引理是:


\begin{align}
d g(t) & = \left( \frac{\partial g}{\partial t}+\mu \frac{\partial g}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 g}{\partial S^2}+h(t)\int_{\Delta g} (\Delta g \eta_g(\cdot) \, d{\Delta}g) \, \right) dt + \frac{\partial g}{\partial S} \sigma \, d W(t) + d J_g(t).
\end{align}

可以看到,漂移-扩散过程与跳跃过程之和的伊藤引理,恰恰是各自部分伊藤引理的和。

应用例子[编辑]

伊藤引理是研究随机过程和解随机微分方程的重要特性,在金融数学里有广泛的应用。例如布莱克-斯科尔斯模型

df(t,S_t) = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\left(S_t\sigma\right)^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)\,dt +\frac{\partial f}{\partial S}\,dS_t.
 dV_t = r\left(V_t-\frac{\partial f}{\partial S}S_t\right)\,dt + \frac{\partial f}{\partial S}\,dS_t.
\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} + rS\frac{\partial f}{\partial S}-rf = 0.

參考資料[编辑]

  • Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
  • PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
  • Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy