伊藤引理

在随机分析中，伊藤引理（Ito's lemma）是一条非常重要的性质。發現者為日本數學家伊藤清，他指出了对于一个随机过程的函数作微分的规则。

伊藤引理较早版本

第一引理

设布朗运动$W_t$以及二次导数函数$f$，以下等式成立：

$df(W_t) = f'(W_t)dW_t + \frac{1}{2} f''(W_t)dt$

其主要可通过对多项式环到形式幂级数的拓展，例如：

$de^{W_t^2}= 2W_t e^{W_t^2} dW_t + (e^{W_t^2} + 2W_t^2 e^{W_t^2} )dt$

第二引理

设布朗运动$W_t$以及二次导数函数$f$，以下等式成立：

$df = \frac{\partial f}{\partial W_t} dW_t + \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial W_t^2}\right)dt$

が成立する。

第三引理

定义伊藤過程 又称扩散过程 $\{X_t \}$ 有以下特性：

$dX_t = f(X_t , t) dW_t + g(X_t, t) dt$

$dh = \frac{\partial h}{\partial X_t}f(X_t ,t) dW_t + \left\{\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial h}{\partial X_t}g(X,t) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 h}{\partial X_t^2}(f(X_t ,t))^2 \right\} dt$}}

到半鞅的拓展

连续半鞅

$df(X_t) = \sum_{i=1}^d f_{i}(X_t)\,dX^i_t + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^df_{i,j}(X_t)\,d[X^i,X^j]_t.$

不连续半鞅

$\begin{align} f(X_t)= & f(X_0)+\sum_{i=1}^d\int_0^t f_{i}(X_{s-})\,dX^i_s + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d \int_0^t f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^i,X^j]_s\\ &{} + \sum_{s\le t}\left(\Delta f(X_s)-\sum_{i=1}^df_{i}(X_{s-})\,\Delta X^i_s-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X^i_s \, \Delta X^j_s\right). \end{align}$

应用例子

伊藤引理是研究随机过程和解随机微分方程的重要特性，在金融数学里有广泛的应用。例如布莱克-斯科尔斯模型

$df(t,S_t) = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\left(S_t\sigma\right)^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)\,dt +\frac{\partial f}{\partial S}\,dS_t.$

$dV_t = r\left(V_t-\frac{\partial f}{\partial S}S_t\right)\,dt + \frac{\partial f}{\partial S}\,dS_t.$

$\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} + rS\frac{\partial f}{\partial S}-rf = 0.$

參考資料

• Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
• PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
• Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy