伊藤积分

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布朗运动及布朗运动的伊藤积分

伊藤微积分英语Itō calculus)得名自日本數學家伊藤清,是將微積分的概念擴展到隨機過程中,像布朗运动維納過程)就可以用伊藤微积分進行分析。主要應用在金融數學隨機微分方程中。伊藤微积分的中心概念是伊藤积分,是將傳統的黎曼-斯蒂爾傑斯積分延伸到隨機過程中,隨機過程一方面是一個隨機變數,而且也是一個不可微分的函數。

藉由伊藤积分,可以將一個隨機過程(被积分函数)對另一個隨機過程(積分變數)進行積分。積分變數一般會布朗运动。從0t的積分結果是一個隨機變數。此隨機變數定義為一特定隨機變數序列的極限(有許多等效的方式可建構上述的定義)。

伊藤积分是对半鞅X以及随机过程H的积分

\int_0^t H\,dX = \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{t_{i-1},t_i\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}).

这里X布朗运动,或者更广义地,是一个半鞅H是一个适配于由X生成的筛选的,本地平方可积分的过程(Revuz & Yor 1999, Chapter IV)。布朗运动的路径无法满足应用于微积分标准技术的需求。特别地,其在任意点不可微,并且在每一个时间间隔都有无限方差。其结果是,无法用普通的方法定义积分(参考Riemann–Stieltjes integral)。主要的创新是只要调配被积函数,就可以定义一个积分,不严格的讲,即t时刻它的值仅仅依靠此时刻之前的可用信息。 股票价格和其他可交易自残的价格可以通过随机过程进行建模,例如布朗运动,或者,更经常的,几何布朗运动(参见Black–Scholes)。然后,伊藤随机积分代表,在时间t持有一定数量Ht的股票,对其进行连续交易的回报。这种情况下,调配H就相应于,在任何时候只使用可用信息的交易策略限制。这也阻止了通过高频交易获得无限收益的可能性:市场中每个上涨之前买入股票,每个下跌之前卖出股票。相似地,调配H的条件暗示,当作为黎曼和极限进行计算的时候,随机积分不会收敛(Revuz & Yor 1999, Chapter IV)。 伊藤过程的重要结果包括,部分公式的集成和伊藤引理,即变量公式的变形。这些由于二次方差项,都与标准微积分公式不同,

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