伯努利分布

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伯努利分布

概率质量函數
累積分佈函數
參數	$p>0\,$（实数）
支撑集	$k=\{0,1\}\,$
概率质量函數	$\begin{matrix} q & \mbox{for }k=0 \\p~~ & \mbox{for }k=1 \end{matrix}$
累積分佈函數	$\begin{matrix} 0 & \mbox{for }k<0 \\q & \mbox{for }0\leq k<1\\1 & \mbox{for }k\geq 1 \end{matrix}$
期望值	$p\,$
中位數	N/A
眾數	$\begin{matrix} 0 & \mbox{if } q > p\\ 0, 1 & \mbox{if } q=p\\ 1 & \mbox{if } q < p \end{matrix}$
方差	$pq\,$
偏度	$\frac{q-p}{\sqrt{pq}}$
峰度	$\frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}$
信息熵	$-q\ln(q)-p\ln(p)\,$
動差生成函數	$q+pe^t\,$
特性函数	$q+pe^{it}\,$

伯努利分布（the Bernoulli distribution，又名两点分布或者0-1分布，是一個離散型概率分布，為紀念瑞士科學家雅各布·伯努利而命名。)若伯努利試驗成功，則伯努利隨机變量取值為1。若伯努利試驗失敗，則伯努利隨机變量取值為0。記其成功概率為$p (0{\le}p{\le}1)$，失敗概率為$q=1-p$。則

• 其概率質量函數為：

  • $f_X(x) = p^x(1-p)^{1-x} = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {if }x=1, \\ q \equiv 1-p\ & \mbox {if }x=0, \\ 0 & \mbox {otherwise.}\end{matrix}\right.$

• 其期望值為：

  • $E[X] = \sum_{i=0}^1x_if_X(x)= 0 + p = p$

• 其方差為：

  • $VAR[X] = \sum_{i=0}^1(x_i-E[X])^2f_X(x)= (0-p)^2(1-p) + (1-p)^2p = p(1-p) = pq$

參見

• 概率论
• 伯努利試驗
• 伯努利過程
• 機率分佈
• 二項分佈