伯努利多項式

伯努利多項式

在數學中，伯努利多項式在對多種特殊函數特別是黎曼ζ函數和Hurwitz ζ函數的研究中出現。作為阿佩爾序列的一種，與正交多項式不同的是，伯努利多項式的函數圖像與x軸在單位長度區間內的交點數目並不會隨著多項式次數的增加而增長。當多項式的次數趨近無窮大的時候，伯努利多項式的函數形狀類似于三角函數。

代表

Bernoulli 多項式 B_n 允許不同的表達式，期間皆可以被定義。

明確的式

$B_n(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} b_k x^{n-k},$

當 b_k 則n ≥ 0, 為 伯努利數

生成解

伯努利多項式的通解為

$\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}.$

Euler 多項式 的通解為

$\frac{2 e^{xt}}{e^t+1}= \sum_{n=0}^\infty E_n(x) \frac{t^n}{n!}.$

微分操作代表

伯努利亦可記為

$B_n(x)={D \over e^D -1} x^n$

D = d/dx 此時小數因而讓正規冪級數給擴充了.