伯努利定律

伯努利定律是流體力學中的一個定律，由流體物理學家伯努利於1738年出版他的理論《Hydrodynamica》，描述流體沿着一條穩定、非粘滯、不可壓縮的流線移動行為。

物理量及定律

原表達形式

$\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h + p = \mbox{constant}.$

$v=\;$ 流動速度

$g=\;$ 地心加速度(地球)

$h=\;$ 流體處於的高度(從某參考點計)

$p=\;$ 流體所受的壓強

$\rho=\;$ 流體的密度

$\mbox{constant}=\;$ 常數

定理假設(Assumptions)

使用伯努利定律必須符合以下假設，方可使用；如沒完全符合以下假設，所求的解也是近似值。

• 定常流(或稱穩定流，Steady flow)：在流動系統中，流體在任何一點之性質不隨時間改變
• 不可壓縮流(Incompressible flow): 密度為常數，在流體為氣體適用於馬赫數(M)<0.3
• 無摩擦流(Frictionsless flow): 摩擦效應可忽略，忽略黏滯性效應
• 流體沿著流線流動(Flow along a streamline):流體元素(element)沿著流線而流動，流線間彼此是不相交的

推論過程

考慮一符合上述假設的流體，如圖所示：

流體因受力所得的能量：

$F_{1} s_{1}-F_{2} s_{2}=p_{1} A_{1} v_{1}\Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t.\;$

流體因重力做功所損失的能量：

$m g h_1-m g h_2 = \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 -\rho g A_2 v_2 \Delta t h_2.\;$

流體所得的動能可以改寫為：

$\frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2 - \frac{1}{2} \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2$

根據能量守恆定律，流體因受力所得的能量＋流體因重力做功所損失的能量＝流體所得的動能。

$p_1 A_1 v_1 \Delta t - p_2 A_2 v_2 \Delta t + \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 - \rho g A_2 v_2 \Delta t h_2 = \frac{1}{2} \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2 - \frac{1}{2} \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2$

$\frac{ \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2}{2} + \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 + p_1 A_1 v_1 \Delta t = \frac{ \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2}{2} + \rho g A_2 v_2 \Delta t h_2 + p_2 A_2 v_2 \Delta t.$

由連續方程式可知：

$A_1 v_1 = A_2 v_2 = \mbox{const}.$

令$\mbox{const}.=\Delta V \;$

從等式兩邊除以$\Delta t \;$ 及$\Delta V \;$可得：

$\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h + p = \mbox{const}.$

特例：托里切利定律

當液體因受到地心吸力的作用而流出時，其速率等於$\sqrt{2gh}$，其中$g$為引力加速度，$h$為開口的中心和液體最高面的距離。這個速率剛好等於液體從離地$h$的地方自由下落，著地前的速率（假設沒有空氣阻力）。

伯努利定律演示實驗

伯努利定律可以使用非常簡單的器材演示出其作用，例如使用人體口部藉由吸管吹送氣流的方式，因為空氣黏滯係數低，因此口腔內的壓力只略大於外界大氣壓力，且空氣流速小於0.3馬赫，因此現象能夠簡單的以柏努力定律來近似。

因柏努利定律而懸浮的保麗龍球

1. 懸浮保麗龍球，將可折彎的吸管一端向上穩定吹出氣體，將一直徑約3公分之保麗龍球放置於氣柱上，保麗龍球能夠懸浮晃動於一定區域中，此乃因氣柱部份速度快而使保利龍球被氣柱所吸引，且氣柱之正向壓力在某高度時和保麗龍球之重量相當所致。
   

   

   簡易噴槍
   

   

   運作中的簡易噴槍
2. 簡易噴霧器，以大吸管固定兩隻小吸管使之夾角略小於直角，因從吸管吹出之氣體流速較快，壓力較一大氣壓力為低，因此能夠將水經由下端吸管中吸起，並於開口處加速破碎成霧滴，模型製作用噴槍以及工業用噴漆噴槍多為此種設計。

可壓縮流體的伯努利定律

伯努利從觀察液體的行為中推導出伯努利方程式，但他的方程是只能應用在不可壓縮的流體還有雖然可壓縮但流速非常慢的流體(也許可以到1/3的聲速)。利用基本的物理原理可以發展出類似的方程式以適用於可壓縮的流體。以下有幾個類似伯努力定律的方程式應用在不同領域，它們只有用基本的物理定律像是牛頓定律和熱力學第一定律。

可壓縮流體之流體力學

對於可壓縮的流體，在保守力的作用之下，所得到的守恆式

$\frac {v^2}{2}+ \int_{p_1}^p \frac {d\tilde{p}}{\rho(\tilde{p})}\ + \Psi = \text{constant}$   (流線型下的守恆)

其中:

p 壓力

ρ 密度

v 流速

Ψ 保守力場下的位勢，通常指重力位勢

在工程領域，在海拔比較高的地方，其壓力會比地表來的小，而且流體流動的時間通常是相當的小，如同絕熱系統般。在這種情形下，上述的方程即

$\frac {v^2}{2}+ gz+\left(\frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p}{\rho} = \text{constant}$   (流線型下的守恆)

其中:上述加入的為

γ 絕熱指數

g 重力加速度

z 離參考平面的高度

在可壓縮流體可以應用的地方，因為高度變化與其他變因相比小的很多，故gz項可以省略，所以較常用的方程式為

$\frac {v^2}{2}+\left( \frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p}{\rho} = \left(\frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p_0}{\rho_0}$

其中:

p₀總壓力

ρ₀總密度

可壓縮流動的熱力學

另一個有用的公式，適合使用在熱力學的是：

${v^2 \over 2} + \Psi + w =\text{constant}.$

這裡w是單位質量的焓，也就是通常會被寫成h

請注意$w = \epsilon + \frac{p}{\rho}$ 其中ε為熱力學單位質量的能量，也稱為specific internal energy。 公式右側的常數通常被稱為伯努力常數，常被寫為b。當在絕熱非黏滯性的流動，沒有能量的流進或流出時，b在任何曲線都是常數。 當Ψ變化可以忽略，一個非常有用的形式的方程式是:

${v^2 \over 2}+ w = w_0$

其中w₀是焓的總量。