伯努利定律

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伯努利定律是流體力學中的一個定律，由流體物理學家伯努利於1738年出版他的理論《Hydrodynamica》，描述流體沿着一條穩定、非粘滯、不可壓縮的流線移動行為。

物理量及定律

原表達形式

$\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h + p = \mbox{constant}.$

$v=\;$ 流動速度

$g=\;$ 地心加速度(地球)

$h=\;$ 流體處於的高度(從某參考點計)

$p=\;$ 流體所受的壓強

$\rho=\;$ 流體的密度

$\mbox{constant}=\;$ 常數

定理假設

• 非粘滯 - 流體無需抵抗與容器壁之間的粘滯力
• 不可壓縮 - 氣體因其可壓縮性多不依循此定律；不可壓縮性可維持密度不變
• 穩定 - 高速流動會導致紊流的出現

推論過程

考慮一符合上述假設的流體，如圖所示：

流體因受力所得的能量：

$F_{1} s_{1}-F_{2} s_{2}=p_{1} A_{1} v_{1}\Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t.\;$

流體因重力做功所損失的能量：

$m g h_1-m g h_2 = \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 -\rho g A_2 v_2 \Delta t h_2.\;$

流體所得的動能可以改寫為：

$\frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2 - \frac{1}{2} \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2$

根據能量守恆定律，流體因受力所得的能量＋流體因重力做功所損失的能量＝流體所得的動能。

$p_1 A_1 v_1 \Delta t - p_2 A_2 v_2 \Delta t + \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 - \rho g A_2 v_2 \Delta t h_2 = \frac{1}{2} \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2 - \frac{1}{2} \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2$

$\frac{ \rho A_1 v_1 \Delta t v_1^2}{2} + \rho g A_1 v_1 \Delta t h_1 + p_1 A_1 v_1 \Delta t = \frac{ \rho A_2 v_2 \Delta t v_2^2}{2} + \rho g A_2 v_2 \Delta t h_2 + p_2 A_2 v_2 \Delta t.$

由連續方程式可知：

$A_1 v_1 = A_2 v_2 = \mbox{const}.$

令$\mbox{const}.=\Delta V \;$

從等式兩邊除以$\Delta t \;$ 及$\Delta V \;$可得：

$\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h + p = \mbox{const}.$

特例：托里切利定律

當液體因受到地心吸力的作用而流出時，其速率等於$\sqrt{2gh}$，其中$g$為引力加速度，$h$為開口的中心和液體最高面的距離。這個速率剛好等於液體從離地$h$的地方自由下落，著地前的速率（假設沒有空氣阻力）。

可壓縮流體的伯努利定律

伯努利從觀察液體的行為中推導出伯努力程式，但他的方程是只能應用在不可壓縮的流體還有雖然可壓縮但流速非常慢的流體(也許可以到1/3的聲速)。利用基本的物理原理可以發展出類似的方程式以適用於可壓縮的流體。以下有幾個類似伯努力定律的方程式應用在不同領域，它們只有用基本的物理定律像是牛頓定律和熱力學第一定律。

可壓縮流體之流體力學

對於可壓縮的流體，在保守力的作用之下，所得到的守恆式

$\frac {v^2}{2}+ \int_{p_1}^p \frac {d\tilde{p}}{\rho(\tilde{p})}\ + \Psi = \text{constant}$   (流線型下的守恆)

其中:

p 壓力

ρ 密度

v 流速

Ψ 保守立場下的位勢，通常指重力位勢

在工程領域，在海拔比較高的地方，其壓力會比地表來的小，而且流體流動的時間通常是相當的小，如同絕熱系統般。在這種情形下，上述的方程即

$\frac {v^2}{2}+ gz+\left(\frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p}{\rho} = \text{constant}$   (流線型下的守恆)

其中:上述加入的為

γ 流體的熱力常數

g 重力加速度

z 離參考平面的高度

在可壓縮流體可以應用的地方，因為高度變化與其他變因相比小的很多，故gz項可以省略，所以較常用的方程式為

$\frac {v^2}{2}+\left( \frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p}{\rho} = \left(\frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p_0}{\rho_0}$

其中:

p₀總壓力

ρ₀總密度

可壓縮流動的熱力學

另一個有用的公式，適合使用在熱力學的是：

${v^2 \over 2} + \Psi + w =\text{constant}.$

這裡w是單位質量的焓，也就是通常會被寫成h

請注意$w = \epsilon + \frac{p}{\rho}$ 其中ε為熱力學單位質量的能量，也稱為specific internal energy。 公式右側的常數通常被稱為白努力常數，常被寫為b。當在絕熱非黏滯性的流動，沒有能量的流進或流出時，b在任何曲線都是常數。 當Ψ變化可以忽略，一個非常有用的形式的方程式是:

${v^2 \over 2}+ w = w_0$

其中w₀是焓的總量。