伯努利微分方程

微积分学

$\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

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伯努利微分方程是形式如 $y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,$ 的常微分方程。

解法

$y'+ P(x)y = Q(x)y^{n}\,$

代入 $w= {y^{1-n}}\,$ （注意 $w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'$ ）：

$\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x)$

此一階常微分方程可用積分因子求解。

例子

解以下微分方程。

$y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2$

两边除以y²，得：

$y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2$

利用分离变数法，可得：

$w = \frac{1}{y}$

$w' = \frac{-y'}{y^2}.$

$w' + \frac{2}{x}w = x^2$

它可以用积分因子的方法来解出。

$M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2.$

两边乘以M(x)，得：

$w'x^2 + 2xw = x^4,\,$

等式的左边是wx²的导数。两边积分，得：

$\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx$

$wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C$

$\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C$

于是：

$y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}$

参见

• 里卡蒂方程
• 柯西-欧拉方程
• 克莱罗方程
• 全微分方程
• 线性微分方程