伯努利微分方程

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

伯努利微分方程是形式如 y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,常微分方程

解法[编辑]

y'+ P(x)y = Q(x)y^{n}\,

代入  w= {y^{1-n}}\, (注意 w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y' ):

\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x)

此一階常微分方程可用積分因子求解。

例子[编辑]

解以下微分方程。

y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2

两边除以y^2,得:

y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2

利用分离变数法,可得:

w = \frac{1}{y}
w' = \frac{-y'}{y^2}.
w' + \frac{2}{x}w = x^2

它可以用积分因子的方法来解出。

M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2.

两边乘以M(x),得:

w'x^2 + 2xw = x^4,\,

等式的左边是wx^2导数。两边积分,得:

\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx
wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C
\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C

于是:

y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}

参见[编辑]