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伯努利数

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數學上,白努利數Bn的第一次發現是與下述數列和的公式有關:

\sum_{k=0}^{m-1} k^n = 0^n + 1^n + 2^n + \cdots + {(m-1)}^n

其中n為固定的任意正整數。

這數列和的公式必定是變數為m,次數為n+1的多項式,稱為伯努利多項式。白努利多項式的係數與白努利數有密切關係如下:

\sum_{k=0}^{m-1} k^n = {1\over{n+1}}\sum_{k=0}^n{n+1\choose{k}} B_k m^{n+1-k}

舉例說,把n取為1,我們有 0 + 1 + 2 + ... + (m-1) = \frac{1}{2}\left(B_0 m^2+2B_1 m^1\right) = \frac{1}{2}\left(m^2-m\right).

白努利數最先由雅各布·伯努利研究,棣莫弗以他來命名。

白努利數可以由下列遞推公式計算:

\sum_{j=0}^m{m+1\choose{j}}B_j = 0

初值條件為B0 = 1。

白努利數也可以用母函數技巧定義。它們的指數母函數是x/(ex − 1),使得對所有絕對值小於2π的x冪指數收斂半徑),有


\frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infin} B_n \frac{x^n}{n!}

有時會寫成小寫bn,以便與貝爾數分別開。

最初21項白努利數記於下(於OEIS內的數列A027641A027642):

n Bn
0 1
1 −1/2 11 0
2 1/6 12 −691/2730
3 0 13 0
4 −1/30 14 7/6
5 0 15 0
6 1/42 16 -3617/510
7 0 17 0
8 −1/30 18 43867/798
9 0 19 0
10 5/66 20 -174611/330

可以證明對所有不是1的奇數nBn = 0。

乍看起來突兀的B12 = −691/2730,喻示白努利數不能以初等方式描述;其實它們是黎曼ζ函數於負整數的值,有深邃的數論性質聯繫,所以不能預期有簡單的計算公式。

白努利數出現在正切和雙曲正切函數的泰勒級數展開式、歐拉─麥克勞林公式,及黎曼ζ函數的一些值的表達式。

在1842年的愛達·勒芙蕾絲分析機筆記的筆記G,第一次記述了一個讓電腦產生白努利數的演算式

一些等式[编辑]

歐拉以黎曼ζ函數表達伯努利數為:

B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}

在[−1, 0]區間上的連續均勻概率分佈n累積量Bn/n

伯努利數的算術性質[编辑]

伯努利數可以用黎曼ζ函數表達為Bn = − nζ(1 − n),也就說明它們本質上是這函數在負整數的值。因此,可推測它們有深刻的算術性質,事實也的確如此,這是庫默爾(Kummer)研究費馬最後定理時發現的。

伯努利數的可整除性是與分圓域理想類群有關。這關係由庫默爾的一道定理和更強的埃爾貝朗-里貝定理(Herbrand-Ribet)描述。而這性質與實二次域的關係由安克尼-阿廷-喬拉猜想(Ankeny-Artin-Chowla)給出。伯努利數還和代數K理論有關:若cnBn/2n的分子,那樣K_{4n-2}(\Bbb{Z})的階是−c2nn為偶數;2c2nn為奇數。

與整除性也有關連的是馮·施陶特-克勞森定理(von Staudt-Clausen)。這定理是說,凡是適合p − 1整除n的質數p,把1/p加到Bn上,我們會得到一個整數。這個事實給出了非零伯努利數Bn的分母的特徵:這些分母是適合p − 1整除n的所有質數p的乘積;故此它們都無平方因子,也都可以被6整除。

吾鄉-朱加猜想猜測p是質數當且僅當pBp−1p同餘於−1。

p進連續性[编辑]

伯努利數的一個特別重要的同餘性質,可以表述為p進連續性。若bmn是正整數,使得mn不能被p − 1整除,及m \equiv n\, \bmod\,p^{b-1}(p-1),那麼

(1-p^{m-1}){B_m \over m} \equiv (1-p^{n-1}){B_n \over n} \,\bmod\, p^b

因為B_n = -n\zeta(1-n),這也可以寫成

(1-p^{-u})\zeta(u) \equiv (1-p^{-v})\zeta(v)\, \bmod \,p^b\,

其中u = 1 − mv = 1 − n,使得uv非正,及不是模p − 1同餘於1。這告訴我們,黎曼ζ函數的歐拉乘積公式中去掉1-p^z後,對適合模p − 1同餘於某個a \not\equiv 1\, \bmod\, p-1的負奇數上的p進數連續,因此可以延伸到所有p進整數\Bbb{Z}_p\,,得出p進ζ函數

伯努利數的幾何性質[编辑]

n \ge 2時給出可平行流形邊界的怪(4n−1)球,對於它們的微分同胚類的循環群的階,有凱爾韋爾-米爾諾公式(Kervaire-Milnor),用到了伯努利數。若BB4n/n的分子,那麼這種怪球的數目是2^{2n-2}(1-2^{2n-1})B。(拓撲學文章中的公式與這裡不同,因為拓撲學家為伯努利數編號的習慣不同。本文跟隨數論家的編號習慣。)

參見[编辑]

外部鏈結[编辑]