伯恩赛德引理

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伯恩赛德引理Burnside's lemma),也叫伯恩赛德计数定理Burnside's counting theorem),柯西-弗罗贝尼乌斯引理Cauchy-Frobenius lemma)或轨道计数定理orbit-counting theorem),是群论中一个结果,在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字,其中包括威廉·伯恩赛德William Burnside)、波利亚柯西弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己,他只是在自己的书中《有限群论 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了,而将其归于弗罗贝尼乌斯 (1887)[1]

下文中,设 G 是一个有限作用在集合 X 上。对每个 g 属于 GX^g 表示 X 中在 g 作用下的不动元素。伯恩赛德引理断言轨道数(记作 |X/G|)由如下公式给出:[2]

|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|.\,

从而轨道数(是一个自然数无穷)等于被 G 中一个元素保持不动的点个数的平均值(故同样是自然数或无穷)。

应用举例[编辑]

使用三種顏色對立方體的面染色,旋轉后相同的視為一種,染色方式總數可以由這個公式確定。

選取一個定向,設 X 是這個定向立方體所有 36 種可能面染色組合,立方體的旋轉群自然作用在 X 上。則 X 的兩個元素屬于同一軌道恰好是一個是另一個的旋轉。旋轉不同的染色數就是軌道数,可以通過數 G 的 24 個元素的不動集合的大小求出來。

立方體面染色
  • 一個恒同元素保持 X 的所有 36 個元素不變。
  • 六個 90 度面旋轉,每一個保持 X 的 33 個元素不變。
  • 三個 180 度面旋轉,每一個保持 X 的 34 個元素不變。
  • 八個 120 度頂點旋轉,每一個保持 X 的 32 個元素不變。
  • 六個 180 度邊旋轉,每一個保持 X 的 33 個元素不變。

這些自同構的詳細檢驗可參見循環指標Cycle index)一文。

這樣,平均不動集合的大小是

 \frac{1}{24}\left(3^6+6\times 3^3 + 3 \times 3^4 + 8 \times 3^2 + 6 \times 3^3 \right) = 57.\,

從而有 57 種旋轉不同的立方體面 3 色染色方式。一般地,使用 n 種顏色,立方體不同的旋轉面染色數是

 \frac{1}{24}\left(n^6+3n^4 + 12n^3 + 8n^2\right).\,

证明[编辑]

定理的證明利用軌道-中心化子定理以及 X 是軌道的不交并的事實:

\sum_{g \in G}|X^g| = |\{(g,x)\in G\times X \mid g\cdot x = x\}| = \sum_{x \in X} |G_x|
= \sum_{x \in X} \frac{|G|}{|Gx|} = |G| \sum_{x \in X}\frac{1}{|Gx|} = |G|\sum_{A\in X/G}\sum_{x\in A} \frac{1}{|A|}
= |G| \sum_{A\in X/G} 1 = |G| \cdot |X/G|.

历史:该引理不属于伯恩赛德[编辑]

威廉·伯恩賽德在他1897年關于有限群的書中陳述并證明了這個引理,將其歸于 弗罗贝尼乌斯 1887。不過在弗羅貝尼烏斯以前,這個公式在1845年已經為柯西所知。事實上,這個引理明顯如此有名,伯恩賽德不過忽略了將其歸于柯西。因此,這個引理有時候也稱為不是伯恩賽德的引理 [3]。這可能看起來不那么有歧義,伯恩賽德對這個領域貢獻了許多引理。

注释[编辑]

另见[编辑]

参考文献[编辑]