伯特蘭定理

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在經典力學裏，伯特蘭定理闡明，只有兩種位勢 V\,\! 可以給出閉合軌道[1]：

V(r) = \frac{ - k}{r}\,\! 。
V(r) = \frac{1}{2} kr^{2}\,\! 。

其中，r\,\! 是徑向座標，k\,\! 是正值常數。假若物體從某位置移動，經過一段路徑後，又回到原先位置，則稱此路徑為閉合軌道。

1687 年，物理泰斗艾薩克·牛頓在巨著《自然哲學的數學原理》裏發表的萬有引力定律，解釋了為甚麼行星繞著太陽的公轉運動會遵守克卜勒定律。在這之後，許多科學家開始研究，當行星的運動稍許偏離了這軌道的時候，可能會發生的狀況？其中一個問題為：軌道是否仍舊是閉合的？但是，經過多年的探討，科學家都無法給出合理的解答。一直要等到 1873 年，法國數學家約瑟·伯特蘭發表伯特蘭定理，才正確地解析這問題。對於經典天體力學研究，這定理非常的重要；在宇宙遙遠的那一邊，萬有引力的性質是否仍舊保持不變？伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法，來測試萬有引力的平方反比性質。

在現代物理學裏，理論物理學家發現，由於廣義相對論效應，重力勢軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到，水星繞著太陽公轉的橢圓軌道，其近拱點呈緩慢進動狀態。所以，當涉及廣義相對論的領域，伯特蘭定理不成立。

目录

[编辑] 前論

所有吸引性連心力都可以產生圓形的公轉軌道；這圓形軌道當然是閉合軌道；其形成的唯一條件是連心力恰巧地與離心力等值；後者決定了維持某圓形半徑所需的角速度。本篇文章不研究非連心力。一般而言，非連心力不會產生圓形的公轉軌道。

採用極坐標 (r,\theta)\,\! ，一個移動於連心勢 V(r)\,\! 的粒子，其拉格朗日量 \mathcal{L}\,\! 是

\mathcal{L}=\frac{1}{2}m\dot{r}^2+\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2 - V(r)\,\! 。

其中，m\,\! 是粒子質量，\dot{r}\,\! 、\dot{\theta}\,\! 分別表示 r\,\! 、\theta\,\! 對於時間 t\,\! 的導數。

這粒子的拉格朗日方程式為

m\ddot{r} - mr\dot{\theta}^2+\frac{dV}{dr}=0\,\! 、
\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})=0\,\! 。

由於角坐標 \theta\,\! 顯性地不相依於拉格朗日量，\theta\,\! 是個可略坐標，其共軛動量（角動量） \ell\,\! 守恆，\ell\,\! 是個常數：

\ell=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}\,\! 。

將角動量的方程式代入徑向拉格朗日方程式，可以得到一個 r\,\! 的二次微分方程式，

m\ddot{r} - \frac{\ell^2}{mr^3}+\frac{dV}{dr}=0\,\! 。

假設軌道是圓形軌道，方程式左手邊第一個項目是零，則如同期待的，連心力 - \frac{dV}{dr}\,\! 等值於離心力 - \frac{\ell^2}{mr^3}\,\! 。

對於時間的導數與對於角變數的導數之間關係為

\frac{d}{dt} = \frac{\ell}{mr^{2}} \frac{d}{d\theta}\,\! 。

將這公式代入，可推導出一個相依於角度，不相依於時間的軌道方程式：

\frac{\ell}{r^{2}} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{\ell}{mr^{2}} \frac{dr}{d\theta} \right) - \frac{\ell^{2}}{mr^{3}} = - \frac{dV}{dr}\,\! 。

設定變數 u = \frac{1}{r}\,\! ，改換方程式的變數為 u\,\! ，同時將方程式兩邊乘以 \frac{m}{\ell^2 u^2}\,\! ，可以得到一個常係數非齊次線性全微分方程式：

\frac{d^2u}{d\theta^2}+u= - \frac{m}{\ell^2}\frac{d}{du}V(1/u)\,\! 。

[编辑] 導引

如同前面所說，給予粒子適當的初始速度，任何連心力都能產生標準圓形軌道。可是，假設給予粒子某徑向速度，則這些軌道可能不穩定（穩定在這裏定義為長久地公轉於同一條軌道），也可能不閉合。本段落會證明，穩定的閉合軌道只發生於平方反比連心勢或徑向諧振子勢（一個必要條件）。下一個段落會證明，這些位勢的確會產生穩定的閉合軌道（一個充分條件）。

為了簡化標記，設定

J(u)= - \frac{m}{\ell^2}\frac{d}{du}V(1/u)= - \frac{m}{\ell^{2}u^{2}} f(1/u)\,\! ；(1)

其中，f(1/u)\,\! 是連心力函數。

則軌道方程式為

\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=J(u)\,\! 。

如果要得到半徑為 r_0\equiv \frac{1}{u_0} \,\! 的圓形運動軌道，必要條件是軌道方程式左邊第一項等於零，方程式變為

u_{0} = J(u_0)\,\! 。

思考對於標準圓形運動軌道的變數 u\,\! 的微擾 \eta \equiv u - u_{0}\,\! ，函數 J(u)\,\! 在 u_0\,\! 的泰勒級數為

J(u)\approx u_0+\eta J^{\prime}(u_0)+\frac{1}{2}\eta^2 J^{\prime\prime}(u_0) +\frac{1}{6}\eta^3 J^{\prime\prime\prime}(u_0)+\ldots\,\! 。

將此展開示代入軌道方程式：

\frac{d^2\eta}{d\theta^2}+\eta=\eta J^{\prime}(u_0)+\frac{1}{2}\eta^2 J^{\prime\prime}(u_0)+\frac{1}{6}\eta^3 J^{\prime\prime\prime}(u_0)\ldots\,\! 。

設定常數 \beta^2\equiv 1 - J^{\prime}(u_0)\,\! （\beta=0\,\! 的解答為標準圓形運動軌道）：

\frac{d^2\eta}{d\theta^2}+\beta^2\eta=\frac{1}{2}\eta^2 J^{\prime\prime}(u_0) +\frac{1}{6}\eta^3 J^{\prime\prime\prime}(u_0) \ldots\,\! 。(2)

取至 \eta\,\! 的 1 次方：

\frac{d^2\eta}{d\theta^2}+\beta^2\eta=0\,\! 。

\beta^2\,\! 必須是個非負數；否則，軌道的半徑會呈指數方式遞增。一階微擾解答為

\eta(\theta)=h_1\cos(\beta\theta)\,\! ；

其中，振幅 h_1\,\! 是個積分常數。

假若這軌道是閉合軌道，則 \beta\,\! 必須是有理數。繼續運算，從方程式(1)，取對於 u\,\! 的導數：

\begin{align} J^{\prime}(u_0) & = -\frac{m}{\ell^2}\left( - \left.\frac{2f(1/u)}{u^3}\right|_{u_0}+\left.\frac{1}{u^2}\frac{d f(1/u)}{du}\right|_{u_0}\right) \\ & = - \left.\frac{2J(u)}{u}\right|_{u_o}+\frac{J(u)}{f(1/u)}\left.\frac{df}{du}\right|_{u_0}= - 2+\frac{u_0}{f(1/u_0)}\left.\frac{df}{du}\right|_{u_0}=1 - \beta^2 \\ \end{align} \,\! 。

這方程式對於任意 u_0\,\! 值都必須成立，因此可以將 u_0\,\! 認定為函數 \left.\frac{df}{du}\right|_{u_0}\,\! 的參數。用符號 u\,\! 來代替 u_0\,\! ，

\frac{df}{du}= - (\beta^2 - 3 )\frac{f(1/u)}{u}\,\! 。

將方程式的變數換回為 r\,\! ，

\frac{df}{dr} = \left( \beta^{2} - 3 \right) \frac{f}{r}\,\! 。

這意謂著作用力必須遵守冪定律：

f(r) = - \frac{k}{r^{3-\beta^2}}\,\! 。

代入方程式 (1) , J\,\! 的一般形式為

J(u) = \frac{mk}{\ell^2} u^{1-\beta^2}\,\!。(3)

假設實際軌道與圓形有更大的差別（也就是說，不能忽略 J\,\!函數的泰勒級數的更高次方項目），則可以用傅立葉級數來展開 \eta\,\! ：

\eta(\theta) = h_0 + h_1\cos(\beta\theta)+h_2\cos(2\beta\theta) + h_3\cos(3\beta \theta) + \ldots\,\! 。

因為高頻率項目的係數太小，傅立葉級數只取至 3\beta\,\! 項目。方程式 (2) 也只取至 \eta\,\! 的三次方。注意到 h_0\,\! 與 h_2\,\! 的數量級為 h_1^2\!\,\! ，超小於 h_1\,\! ；h_3,\!\,\! 的數量級為 h_1^3\,\! ，超小於 h_0\,\! 與 h_2\,\! 。將上述傅立葉級數代入方程式 (2) ，匹配方程式兩邊同頻率項目的係數。 這樣，可以得到一系列方程式：

h_0=h_1^2\frac{J^{\prime\prime}(u_0)}{4\beta^2}\,\! ，(4)
0=(2h_1 h_0+h_1 h_2)\frac{J^{\prime\prime}(u_0)}{2}+h_1^3 \frac{J^{\prime\prime\prime}(u_0)}{8}\,\! ，(5)
h_2= - h_1^2\frac{J^{\prime\prime}(u_0)}{12\beta^2}\,\! 。(6)

求 J(u)\,\! 在 u_0\,\! 對於 u\,\! 的微分：

J^{\prime}(u_0) =(1 - \beta^2) \frac{mk}{\ell^2} u_0^{ - \beta^2}=1 - \beta^2\,\!
J^{\prime\prime}(u_0) =(1 - \beta^2)( - \beta^2)\frac{mk}{\ell^2} u_0^{ - \beta^2 - 1} = - \frac{\beta^2(1 - \beta^2)}{u_0}\,\! 。(7)
J^{\prime\prime\prime}(u_0) =(1 - \beta^2)( - \beta^2)( - \beta^2 - 1)\frac{mk}{\ell^2} u_0^{ - \beta^2 - 2} =\frac{\beta^2(1 -\beta^2)(1+\beta^2)}{u_0^2}\,\! 。(8)

將方程式(7)、(8)代入方程式(4)、(6)：

h_0= - \frac{(1-\beta^2)h_1^2}{4u_0}\,\! ，(9)
h_2=\frac{(1-\beta^2)h_1^2}{12u_0}\,\! 。(10)

再將方程式 (7)、(8)、(9)、(10) 代入方程式 (5) ，經過一番運算，可以得到伯特蘭定理的重要結果：

\beta^2( 1 - \beta^2)(4 - \beta^2)=0\,\!。

解答 \beta=0\,\! 是標準圓形軌道。只有平方反比連心勢 (\beta =1\,\!) 與徑向諧振子勢 (\beta =2\,\!)能夠造成穩定的，閉合的，非圓形的公轉軌道。

[编辑] 平方反比力（克卜勒問題）

平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為

V(\mathbf{r}) = \frac{ - k}{r} = - ku\,\! 。

處於這種連心勢的粒子，其一般軌道方程式寫為

\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = -\frac{m}{\ell^{2}} \frac{d}{du} V(1/u) = \frac{km}{\ell^{2}}\,\! 。

其解答為軌道函數 u(\theta)\,\! ：

u= \frac{km}{\ell^{2}} \left[ 1 + e \cos \left( \theta - \theta_{0}\right) \right]\,\! ；

其中，e\,\! 是橢圓軌道的離心率，\theta_{0}\,\! 是相位差 ，是一個積分常數。

這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程式。當 e=0\,\! 時，這軌道對應於圓形軌道； 當 e<1\,\! 時，這軌道是橢圓形軌道；當 e=1\,\! 時，這軌道是拋物線軌道；當 e>1\,\! 時，這軌道是雙曲線軌道。

離心率與粒子能量 E\,\! 的關係為

e = \sqrt{1 + \frac{2E\ell^{2}}{k^{2}m}}\,\! 。

所以，當 E= - \frac{k^{2}m}{2\ell^{2}}\,\! 時，這軌道是圓形軌道； 當 E<0\,\! 時，這軌道是橢圓形軌道；當 E=0\,\! 時，這軌道是拋物線軌道；當 E>0\,\! 時，這軌道是雙曲線軌道。

[编辑] 徑向諧振子

為了方便解析這問題，採用直角坐標 \mathbf{r} = (x, y, z)\,\! 。勢能可以寫為

V(\mathbf{r}) = \frac{1}{2} kr^{2} = \frac{1}{2} k ( x^{2} + y^{2} + z^{2})\,\! 。

處於徑向諧振子位勢的粒子，其拉格朗日量 \mathcal{L}\,\! 是

\mathcal{L}=\frac{1}{2} m (\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}) +\frac{1}{2} k (x^{2}+y^{2}+z^{2})\,\! 。

這粒子的拉格朗日方程式為

\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} x = 0\,\! 、
\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} y = 0\,\! 、
\frac{d^{2}z}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} z = 0\,\! ；

其中，\omega_{0}=k/m\,\! 是振動頻率。

常數 k\,\! 必須為正值；否則，粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程式的解答為

x = A_{x} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{x} \right)\,\! 、
y = A_{y} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{y} \right)\,\! 、
z = A_{z} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{z} \right)\,\! ；

其中，A_{x}\,\! 、A_{y}\,\! 、A_{z}\,\! 分別為x、y、z方向的振幅，\phi_{x}\,\! 、\phi_{y}\,\! 、\phi_{z}\,\! 分別為其相位

由於上述方程式經過整整一周期 T \equiv {2\pi}/{\omega_{0}}\,\! 後，會重複自己，軌道解答 \mathbf{r}(t) = \left[ x(t), y(y), z(t) \right]\,\! 是閉合軌道。

[编辑] 牛頓旋轉軌道定理

牛頓旋轉軌道定理表明，對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子，假設再增添立方反比力於此粒子，只要因子 \alpha\,\! 是有理數，則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程式，增添的立方反比力 \Delta F(r)=\frac{k}{r^3}\,\! 為

\Delta F(r)=\frac{L_{1}^{2}}{mr^{3}} \left( 1 - \alpha^{2} \right)\,\! ；

其中，\ell_{1}\,\! 是粒子原本的角動量，m\,\! 是粒子的質量。

所以， \alpha^2=1 - \frac{mk}{\ell_1^2}\,\! 。

由於 \alpha\,\! 是有理數，\alpha\,\! 可以寫為分數 m/n\,\! ；其中，m\,\! 和 n\,\! 都是整數。對於這案例，增添立方反比力使得粒子完成 m\,\! 圈公轉的時間等於原本完成 n\,\! 圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理，因為，增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。

[编辑] 參閱

[编辑] 參考文獻

  1. ^ Bertrand, J. Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe. C. R. Acad. Sci.. 1873, 77: 849–853. 
Goldstein, Herbert. Classical Mechanics. 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980:  pp. 89-92. ISBN 0201657023 （英文）. 
Grandati, Yves; Bérard, Alain, Inverse problem and Bertrand's theorem, American Journal of Physics. August 2008, 76 (8): pp. 782-787 
Tikochinsky, Yoel, A simplified proof of Bertrand's theorem, American Journal of Physics. December 1988, 56 (12): pp. 1063-1157 
Zarmi, Yair, The Bertrand theorem revisited, American Journal of Physics. April 2002, 70 (4): pp. 446-449 
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