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伯特蘭定理

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提示:本条目的主题不是伯特蘭-切比雪夫定理
約瑟·伯特蘭

經典力學裏,伯特蘭定理闡明,只有兩種位勢 V 可以給出閉合軌道[1]

V(r) = \frac{ - k}{r}
V(r) = \frac{1}{2} kr^{2}

其中,r 是徑向座標,k 是正值常數。假若物體從某位置移動,經過一段路徑後,又回到原先位置,則稱此路徑為閉合軌道

1687 年,物理泰斗艾薩克·牛頓在巨著《自然哲學的數學原理》裏發表的萬有引力定律,解釋了為甚麼行星繞著太陽的公轉運動會遵守克卜勒定律。在這之後,許多科學家開始研究,當行星的運動稍許偏離了這軌道的時候,可能會發生的狀況?其中一個問題為:軌道是否仍舊是閉合的?但是,經過多年的探討,科學家都無法給出合理的解答。一直要等到 1873 年,法國數學家約瑟·伯特蘭發表伯特蘭定理,才正確地解析這問題。對於經典天體力學研究,這定理非常的重要;在宇宙遙遠的那一邊,萬有引力的性質是否仍舊保持不變?伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法,來測試萬有引力的平方反比性質。

在現代物理學裏,理論物理學家發現,由於廣義相對論效應,重力勢軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到,水星繞著太陽公轉的橢圓軌道,其近拱點呈緩慢進動狀態。所以,當涉及廣義相對論的領域,伯特蘭定理不成立。

前論[编辑]

所有吸引性連心力都可以產生圓形的公轉軌道;這圓形軌道當然是閉合軌道;其形成的唯一條件是連心力恰巧地與離心力等值;後者決定了維持某圓形半徑所需的角速度。本篇文章不研究非連心力。一般而言,非連心力不會產生圓形的公轉軌道。

採用極坐標 (r,\theta) ,一個移動於連心勢 V(r) 的粒子,其拉格朗日量 \mathcal{L}

\mathcal{L}=\frac{1}{2}m\dot{r}^2+\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2 - V(r)

其中,m 是粒子質量,\dot{r}\dot{\theta} 分別表示 r\theta 對於時間 t 的導數。

這粒子的拉格朗日方程式

m\ddot{r} - mr\dot{\theta}^2+\frac{dV}{dr}=0
\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})=0

由於角坐標 \theta 顯性地跟拉格朗日量無關,\theta 是個可略坐標,其共軛動量角動量\ell 守恆,\ell 是個常數:

\ell=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}

將角動量的方程式代入徑向拉格朗日方程式,可以得到一個 r 的二次微分方程式

m\ddot{r} - \frac{\ell^2}{mr^3}+\frac{dV}{dr}=0

假設軌道是圓形軌道,方程式左手邊第一個項目是零,則如同期待的,連心力  - \frac{dV}{dr} 等值於離心力  - \frac{\ell^2}{mr^3}

對於時間的導數與對於角變數的導數之間關係為

\frac{d}{dt} = \frac{\ell}{mr^{2}} \frac{d}{d\theta}

將這公式代入,可推導出一個跟角度有關,跟時間無關的軌道方程式:

\frac{\ell}{r^{2}} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{\ell}{mr^{2}} \frac{dr}{d\theta} \right) - \frac{\ell^{2}}{mr^{3}} = - \frac{dV}{dr}

設定變數 u = \frac{1}{r} ,改換方程式的變數為 u ,同時將方程式兩邊乘以 \frac{m}{\ell^2 u^2} ,可以得到一個常係數非齊次線性全微分方程式

\frac{d^2u}{d\theta^2}+u= - \frac{m}{\ell^2}\frac{d}{du}V(1/u)

導引[编辑]

如同前面所說,給予粒子適當的初始速度,任何連心力都能產生標準圓形軌道。可是,假設給予粒子某徑向速度,則這些軌道可能不穩定(穩定在這裏定義為長久地公轉於同一條軌道),也可能不閉合。本段落會證明,穩定的閉合軌道只發生於平方反比連心勢或徑向諧振子勢(一個必要條件)。下一個段落會證明,這些位勢的確會產生穩定的閉合軌道(一個充分條件)。

為了簡化標記,設定

J(u)= - \frac{m}{\ell^2}\frac{d}{du}V(1/u)= - \frac{m}{\ell^{2}u^{2}} f(1/u)(1)

其中,f(1/u) 是連心力函數。

則軌道方程式為

\frac{d^2u}{d\theta^2}+u=J(u)

如果要得到半徑為 r_0\equiv \frac{1}{u_0}  的圓形運動軌道,必要條件是軌道方程式左邊第一項等於零,方程式變為

u_{0} = J(u_0)

思考對於標準圓形運動軌道的變數 u微擾 \eta \equiv u - u_{0} ,函數 J(u)u_0泰勒級數

J(u)\approx u_0+\eta J^{\prime}(u_0)+\frac{1}{2}\eta^2 J^{\prime\prime}(u_0) +\frac{1}{6}\eta^3 J^{\prime\prime\prime}(u_0)+\ldots

將此展開示代入軌道方程式:

\frac{d^2\eta}{d\theta^2}+\eta=\eta J^{\prime}(u_0)+\frac{1}{2}\eta^2 J^{\prime\prime}(u_0)+\frac{1}{6}\eta^3 J^{\prime\prime\prime}(u_0)\ldots

設定常數 \beta^2\equiv 1 - J^{\prime}(u_0)\beta=0 的解答為標準圓形運動軌道):

\frac{d^2\eta}{d\theta^2}+\beta^2\eta=\frac{1}{2}\eta^2 J^{\prime\prime}(u_0) +\frac{1}{6}\eta^3 J^{\prime\prime\prime}(u_0) \ldots(2)

取至 \eta 的 1 次方:

\frac{d^2\eta}{d\theta^2}+\beta^2\eta=0

\beta^2 必須是個非負數;否則,軌道的半徑會呈指數方式遞增。一階微擾解答為

\eta(\theta)=h_1\cos(\beta\theta)

其中,振幅 h_1 是個積分常數。

假若這軌道是閉合軌道,則 \beta 必須是有理數。繼續運算,從方程式(1),取對於 u 的導數:

\begin{align} J^{\prime}(u_0) & = -\frac{m}{\ell^2}\left( - \left.\frac{2f(1/u)}{u^3}\right|_{u_0}+\left.\frac{1}{u^2}\frac{d f(1/u)}{du}\right|_{u_0}\right) \\
  & = - \left.\frac{2J(u)}{u}\right|_{u_o}+\frac{J(u)}{f(1/u)}\left.\frac{df}{du}\right|_{u_0}= - 2+\frac{u_0}{f(1/u_0)}\left.\frac{df}{du}\right|_{u_0}=1 - \beta^2 \\ \end{align}

這方程式對於任意 u_0 值都必須成立,因此可以將 u_0 認定為函數 \left.\frac{df}{du}\right|_{u_0} 的參數。用符號 u 來代替 u_0

\frac{df}{du}= - (\beta^2 - 3 )\frac{f(1/u)}{u}

將方程式的變數換回為 r

\frac{df}{dr} = \left( \beta^{2} - 3 \right) \frac{f}{r}

這意味著作用力必須遵守冪定律

f(r) = - \frac{k}{r^{3-\beta^2}}

代入方程式 (1) , J 的一般形式為

J(u) = \frac{mk}{\ell^2} u^{1-\beta^2}(3)

假設實際軌道與圓形有更大的差別(也就是說,不能忽略 J函數的泰勒級數的更高次方項目),則可以用傅立葉級數來展開 \eta

\eta(\theta) = h_0 + h_1\cos(\beta\theta)+h_2\cos(2\beta\theta) + h_3\cos(3\beta \theta) + \ldots

因為高頻率項目的係數太小,傅立葉級數只取至 3\beta 項目。方程式 (2) 也只取至 \eta 的三次方。注意到 h_0h_2 的數量級為 h_1^2\! ,超小於 h_1h_3,\! 的數量級為 h_1^3 ,超小於 h_0h_2 。將上述傅立葉級數代入方程式 (2) ,匹配方程式兩邊同頻率項目的係數。 這樣,可以得到一系列方程式:

h_0=h_1^2\frac{J^{\prime\prime}(u_0)}{4\beta^2}(4)
0=(2h_1 h_0+h_1 h_2)\frac{J^{\prime\prime}(u_0)}{2}+h_1^3 \frac{J^{\prime\prime\prime}(u_0)}{8}(5)
h_2= - h_1^2\frac{J^{\prime\prime}(u_0)}{12\beta^2}(6)

J(u)u_0 對於 u 的微分:

J^{\prime}(u_0) =(1 - \beta^2) \frac{mk}{\ell^2} u_0^{ - \beta^2}=1 - \beta^2
J^{\prime\prime}(u_0) =(1 - \beta^2)( - \beta^2)\frac{mk}{\ell^2} u_0^{ - \beta^2 - 1} = -  \frac{\beta^2(1 - \beta^2)}{u_0}(7)
J^{\prime\prime\prime}(u_0) =(1 - \beta^2)( - \beta^2)( - \beta^2 - 1)\frac{mk}{\ell^2} u_0^{ - \beta^2 - 2} =\frac{\beta^2(1 -\beta^2)(1+\beta^2)}{u_0^2}(8)

將方程式(7)、(8)代入方程式(4)、(6):

h_0= - \frac{(1-\beta^2)h_1^2}{4u_0}(9)
h_2=\frac{(1-\beta^2)h_1^2}{12u_0}(10)

再將方程式 (7)、(8)、(9)、(10) 代入方程式 (5) ,經過一番運算,可以得到伯特蘭定理的重要結果:

\beta^2( 1 - \beta^2)(4 - \beta^2)=0

解答 \beta=0 是標準圓形軌道。只有平方反比連心勢 (\beta =1) 與徑向諧振子勢 (\beta =2)能夠造成穩定的,閉合的,非圓形的公轉軌道。

平方反比力(克卜勒問題)[编辑]

平方反比連心力給出的連心勢,像重力勢或靜電勢,以方程式表示為

V(\mathbf{r}) = \frac{ - k}{r} = - ku

處於這種連心勢的粒子,其一般軌道方程式寫為

\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = -\frac{m}{\ell^{2}}  \frac{d}{du} V(1/u) = \frac{km}{\ell^{2}}

其解答為軌道函數 u(\theta)

u= \frac{km}{\ell^{2}} \left[ 1 + e \cos \left( \theta - \theta_{0}\right) \right]

其中,e 是橢圓軌道的離心率\theta_{0} 是相位差 ,是一個積分常數。

這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程式。當 e=0 時,這軌道對應於圓形軌道; 當 e<1 時,這軌道是橢圓形軌道;當 e=1 時,這軌道是拋物線軌道;當 e>1 時,這軌道是雙曲線軌道。

離心率與粒子能量 E 的關係為

e = \sqrt{1 + \frac{2E\ell^{2}}{k^{2}m}}

所以,當 E= - \frac{k^{2}m}{2\ell^{2}} 時,這軌道是圓形軌道; 當 E<0 時,這軌道是橢圓形軌道;當 E=0 時,這軌道是拋物線軌道;當 E>0 時,這軌道是雙曲線軌道。

徑向諧振子[编辑]

為了方便解析這問題,採用直角坐標 \mathbf{r} = (x, y, z) 。勢能可以寫為

V(\mathbf{r}) = \frac{1}{2} kr^{2} = 
\frac{1}{2} k ( x^{2} + y^{2} + z^{2})

處於徑向諧振子位勢的粒子,其拉格朗日量 \mathcal{L}

\mathcal{L}=\frac{1}{2} m (\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2})
+\frac{1}{2} k (x^{2}+y^{2}+z^{2})

這粒子的拉格朗日方程式為

\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} x = 0
\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} y = 0
\frac{d^{2}z}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2} z = 0

其中,\omega_{0}=k/m 是振動頻率

常數 k 必須為正值;否則,粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程式的解答為

x = A_{x} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{x} \right)
y = A_{y} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{y} \right)
z = A_{z} \cos \left(\omega_{0} t + \phi_{z} \right)

其中,A_{x}A_{y}A_{z} 分別為x、y、z方向的振幅,\phi_{x}\phi_{y}\phi_{z} 分別為其相位

由於上述方程式經過整整一周期 T \equiv {2\pi}/{\omega_{0}} 後,會重複自己,軌道解答 \mathbf{r}(t) = \left[ x(t), y(y), z(t) \right] 是閉合軌道。

牛頓旋轉軌道定理[编辑]

牛頓旋轉軌道定理表明,對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子,假設再增添立方反比力於此粒子,只要因子 \alpha有理數,則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程式,增添的立方反比力 \Delta F(r)=\frac{k}{r^3}

\Delta F(r)=\frac{L_{1}^{2}}{mr^{3}} \left( 1 - \alpha^{2} \right)

其中,\ell_{1} 是粒子原本的角動量,m 是粒子的質量。

所以, \alpha^2=1 - \frac{mk}{\ell_1^2}

由於 \alpha 是有理數,\alpha 可以寫為分數 m/n ;其中,mn 都是整數。對於這案例,增添立方反比力使得粒子完成 m 圈公轉的時間等於原本完成 n 圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理,因為,增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Bertrand, J. Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe. C. R. Acad. Sci. 1873, 77: 849–853. 
Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 89–92. ISBN 0201657023 (English). 
Grandati, Yves; Bérard, Alain, Inverse problem and Bertrand's theorem, American Journal of Physics, 2008-08, 76 (8): pp. 782–787 
Tikochinsky, Yoel, A simplified proof of Bertrand's theorem, American Journal of Physics, 1988-12, 56 (12): pp. 1063–1157 
Zarmi, Yair, The Bertrand theorem revisited, American Journal of Physics, 2002-04, 70 (4): pp. 446–449