伴随勒让德多项式

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伴随勒让德多项式Associated Legendre polynomials,又译缔合勒让德多项式连带勒让德多项式关联勒让德多项式[1]数学上对如下形式常微分方程函数序列的称呼:

(1-x^2)\,\frac{d^2\,y}{dx^2} -2x\frac{dy}{dx} + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0

该方程是在球坐标系下求解拉普拉斯方程时得到的,在数学和理论物理学中有重要的意义。

l=5时连带勒让德多项式的图像

因上述方程仅当 \ellm\, 均为整数且满足 0 \le m \le \ell 时,才在区间 [−1, 1] 上有非奇异解,所以通常把 \ellm\, 均为整数时方程的解称为伴随勒让德多项式;把 \ell 和/或 m\, 为一般实数复数时方程的解称为广义勒让德函数generalized Legendre functions)。

m\,= 0\ell为整数时,方程的解即为一般的勒让德多项式

注意当 m奇数时,连带勒让德多项式并不是多项式

正交性[编辑]

与勒让德多项式一样,连带勒让德多项式在区间 [-1,1] 上也满足正交性。

\int_{-1}^{1} P_l^m(x) P_k^m(x)\mathrm dx = \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac 2{2l+1}\delta_{kl}

这是因为,与勒让德方程一样,连带勒让德方程也是施图姆-刘维尔型的:

\left\{\frac{m^2}{1-x^2}-\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left[(1-x^2)\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right]\right\}P_l^m(x)=\lambda P_l^m(x),\quad \lambda=l(l+1),l\in\mathbb Z_0^+

正交性的另一种表述如下,它与下面提到的球谐函数有关。

\int_{0}^\pi P_l^m(\cos\theta) P_k^m(\cos\theta)\sin\theta\mathrm d\theta = \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac 2{2l+1}\delta_{kl}

与勒让德多项式的关系[编辑]

连带勒让德多项式可以由勒让德多项式求 m 次导得到:

P_l^m(x)=(1-x^2)^{m/2}P_l^{(m)}(x)

等号右边的上标 (m) 表示求 m 次导。

与超几何函数的关系[编辑]

连带勒让德函数(即 l, m 不一定要是整数)可以用高斯超几何函数表达为:

P_\nu^\mu(z)=\frac1{\Gamma(1-\mu)}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{\mu/2}\,_2F_1(-\nu,\nu+1,1-\mu,\frac{1-z}2)

注意 μ 为正整数 m 时 1-μ伽玛函数的奇点,此时等号右边的式子应该理解为当 μ 趋于 m 时的极限。

负数阶连带勒让德多项式[编辑]

显然连带勒让德方程在变换 m→-m 下保持不变,传统上习惯定义负数阶连带勒让德多项式为:

P_l^{-m}(x)=(-1)^m\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_l^m(x),\quad m=1,\ldots,l;l\in\mathbb Z^+

容易验证,这样定义的连带勒让德多项式能够使得上面的正交关系可以推广到 m 为负数的情况。

注意在个别文献(如上面的图,以及球谐函数一文)中会直接取

P_l^{-m}(x)=P_l^m(x)

本文不采用这种定义。

与球谐函数的关系[编辑]

球谐函数是球坐标下三维空间拉普拉斯方程的角度部分的解,构成一组完备的基组,有着重要的意义。

采用本文中定义的连带勒让德多项式的表达式,球谐函数可以表达为:

Y_l^m(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{(l-m)!}{(l+m)!}\frac{2l+1}{4\pi}}P_l^m(\cos\theta)e^{im\phi}

由连带勒让德多项式的正交关系可以直接得到球谐函数的正交关系:

\int Y_l^m(\theta,\phi)Y_{k}^{n*}(\theta,\phi)\mathrm d\Omega=\delta_{kl}\delta_{mn}

式中 dΩ立体角元。

参考文献[编辑]

  1. ^ 吴崇试. 16//数学物理方法(第二版). 北京大学出版社. [2003]. ISBN 9787301068199.