伴随勒让德多项式

伴随勒让德多项式（Associated Legendre polynomials，又译缔合勒让德多项式、连带勒让德多项式、关联勒让德多项式）是数学上对如下形式常微分方程解函数序列的称呼：

$(1-x^2)\,\frac{d^2\,y}{dx^2} -2x\frac{dy}{dx} + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0$

该方程是在球坐标系下求解拉普拉斯方程时得到的，在数学和理论物理学中有重要的意义。

Associated Legendre polynomial curves for l=5.

因上述方程仅当 $\ell$ 和 $m\,$ 均为整数且满足 $0 \le m \le \ell$ 时，才在区间 [−1, 1] 上有非奇异解，所以通常把 $\ell$ 和 $m\,$ 均为整数时方程的解称为伴随勒让德多项式；把 $\ell$ 和/或 $m\,$ 为一般实数或复数时方程的解称为广义勒让德函数（generalized Legendre functions）。

当 $m\,= 0$、$\ell$为整数时，方程的解即为一般的勒让德多项式。