伴随勒让德多项式

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伴随勒让德多项式Associated Legendre polynomials,又译缔合勒让德多项式连带勒让德多项式关联勒让德多项式)是数学上对如下形式常微分方程函数序列的称呼:

(1-x^2)\,\frac{d^2\,y}{dx^2} -2x\frac{dy}{dx} + \left(\ell[\ell+1] - \frac{m^2}{1-x^2}\right)\,y = 0

该方程是在球坐标系下求解拉普拉斯方程时得到的,在数学和理论物理学中有重要的意义。

Associated Legendre polynomial curves for l=5.

因上述方程仅当 \ellm\, 均为整数且满足 0 \le m \le \ell 时,才在区间 [−1, 1] 上有非奇异解,所以通常把 \ellm\, 均为整数时方程的解称为伴随勒让德多项式;把 \ell 和/或 m\, 为一般实数复数时方程的解称为广义勒让德函数generalized Legendre functions)。

m\,= 0\ell为整数时,方程的解即为一般的勒让德多项式