伴随矩阵

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

线性代数中,一个方形矩阵伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆,那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而,伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义,并且不需要用到除法

定义[编辑]

R是一个交换环A是一个以R中元素为系数的 n×n矩阵A的伴随矩阵可按如下步骤定义:

  • 定义:A关于第i 行第j 列的余子式(记作Mij)是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式
  • 定义:A关于第i 行第j 列的代数余子式是:
\mathbf{C}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}
  • 定义:A余子矩阵是一个n×n的矩阵C,使得其第i 行第j 列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式

引入以上的概念后,可以定义:矩阵A伴随矩阵A的余子矩阵的转置矩阵

\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^T \,

也就是说, A伴随矩阵是一个n×n的矩阵(记作adj(A)),使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j 行第i 列的代数余子式

\left[ \mathrm{adj}(\mathbf{A}) \right]_{ij} = \mathbf{C}_{ji} \,

例子[编辑]

2x2矩阵[编辑]

一个2\times 2矩阵 \mathbf{A} = \begin{pmatrix} {{a}} & {{b}}\\ {{c}}  & {{d}} \end{pmatrix}的伴随矩阵是

\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} \,\,\,{{d}} & \!\!{{-b}}\\ {{-c}} & {{a}} \end{pmatrix}.

3x3矩阵[编辑]

对于3\times 3的矩阵,情况稍微复杂一点:


\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{pmatrix}.

其伴随矩阵是:

 \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} 
+\left| \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33}  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{23} \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{21} & A_{23} \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix}  A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right|
\end{pmatrix}

其中

\left| \begin{matrix} A_{im} & A_{in} \\ \,\,A_{jm} & A_{jn} \end{matrix} \right|=
\det\left(    \begin{matrix} A_{im} & A_{in} \\ \,\,A_{jm} & A_{jn} \end{matrix} \right).

要注意伴随矩阵是余子矩阵的转置,第3行第2列的系数应该是A关于第2行第3列的代数余子式。

具体情况[编辑]

对于数值矩阵,例如求矩阵

 M = \begin{pmatrix}
\!-3 & \, 2 & \!-5 \\
\!-1 & \, 0 & \!-2 \\
\, 3 & \!-4 & \, 1
\end{pmatrix}

的伴随矩阵\operatorname{adj} (M),只需将数值代入上节得到的表达式中。例如第2行第3列的代数余子式为

(-1)^{2+3}\;\operatorname{det}\begin{pmatrix}\!-3&\,2\\ \,3&\!-4\end{pmatrix}=-((-3)\cdot (-4)-2 \cdot 3)=-6

因此伴随矩阵中第2行第3列的位置上是-6。

计算后的结果是:  \operatorname{adj} (M) = \operatorname{adj}\begin{pmatrix}
\!-3 & \, 2 & \!-5 \\
\!-1 & \, 0 & \!-2 \\
\, 3 & \!-4 & \, 1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\!-8 &  18  & \!-4 \\
\!-5 &  12  & \!-1 \\
\, 4 & \!-6 & \, 2
\end{pmatrix}

应用[编辑]

作为拉普拉斯公式的推论,关于n×n 矩阵A行列式,有:

\mathbf{A}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\, \mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\, \mathbf{I}\qquad (*)

其中In阶的单位矩阵。事实上,A adj(A)的第i行第i列的系数是

\sum_{j=1}^{n} a_{i;j}  C_{i,j}。根据拉普拉斯公式,等于A的行列式。

如果ij,那么A adj(A)的第i行第j列的系数是

\sum_{k=1}^{n} a_{i;k}  C_{j,k}。拉普拉斯公式说明这个和等于0(实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式。由于有两行相同,行列式为0)。

由这个公式可以推出一个重要结论:交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。

这是因为如果A可逆,那么

1 = \det(\mathbf I) = \det(\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{A}^{-1}),

如果det(A)是环中的可逆元那么公式(*)表明

\mathbf{A}^{-1} = \det(\mathbf{A})^{-1}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A})

性质[编辑]

对n×n的矩阵AB,有:

  1. \mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}\,
  2. \mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})\,
  3. \mathrm{adj}(\mathbf{A}^T) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^T\,
  4. \det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}\,
  5. \mathrm{adj}(k \mathbf{A}) = k^{n-1} \ \mathrm{adj}(\mathbf{A})
  6. 当n>2时, \mathrm{adj}(\mathrm{adj}(\mathbf{A})) = (\det \mathbf{A})^{n-2} \mathbf{A}
  7. 如果A可逆,那么\mathrm{adj}(\mathbf{A}^{-1}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^{-1} = \frac{A}{\det A}
  8. 如果A对称矩阵,那么其伴随矩阵也是对称矩阵;如果A反对称矩阵,那么当n为偶数时,A的伴随矩阵也是反对称矩阵,n为奇数时则是对称矩阵。
  9. 如果A是(半)正定矩阵,那么其伴随矩阵也是(半)正定矩阵。
  10. 如果矩阵AB相似,那么\mathrm{adj}(\mathbf{A})\mathrm{adj}(\mathbf{B}) 也相似。
  11. 如果n>2,那么非零矩阵A正交矩阵当且仅当\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \pm A^T


伴随矩阵的秩[编辑]

当矩阵A可逆时,它的伴随矩阵也可逆,因此两者的一样,都是n。当矩阵A不可逆时,A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1 时,其伴随矩阵的秩为1,当A的秩小于n-1 时,其伴随矩阵为零矩阵。

伴随矩阵的特征值[编辑]

设矩阵A在复域中的特征值\lambda_1, \lambda_2 \cdots \lambda_n(即为特征多项式n个根),则A的伴随矩阵的特征值为 \lambda_2 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \ \lambda_1 \lambda_3 \cdots \lambda_{n}, \cdots , \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_{n-1}

伴随矩阵和特征多项式[编辑]

p(t) = det(A − tI)为A特征多项式,定义q(t) = \frac{p(0)-p(t)}{t},那么:

 \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = q(\mathbf{A}) = -(p_1 \mathbf{I} + p_2 \mathbf{A} + p_3 \mathbf{A}^2 + \cdots + p_{n} \mathbf{A}^{n-1}) ,

其中 p_j p(t)的各项系数:

 p(t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \cdots p_{n} t^{n}.

伴随矩阵也出现在行列式导数形式中。

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  • Strang, Gilbert. Section 4.4: Applications of determinants//Linear Algebra and its Applications Third edition. Harcourt Brace Jovanovich. 1988: 231–232. ISBN 0-15-551005-3. 

外部链接[编辑]