伴随表示

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數學中,一個李群 G伴隨表示adjoint representation)或伴隨作用adjoint action)是 G 在它自身的李代數上的自然表示。這個表示是群 G 在自身上的共軛作用的線性化形式。

正式定义[编辑]

G 是一個李群\mathfrak g 是它的李代數(我們將其等價於 G恒同元素切空間 TeG)。利用方程 \Psi(g)= \Psi_gg 屬於 G,定義一個映射

\Psi : G \to \mathrm{Aut}(G),\,

這里 \mathrm{Aut}(G)G自同構群自同構 \Psi_g 定義為

\Psi_g(h) = ghg^{-1}\, 對所有 h 屬於 G

從而 Ψg 在恒同處的微分是李代數 \mathfrak g 的一個自同構。我們記這個映射為 Adg

\mathrm{Ad}_g\colon \mathfrak g \to \mathfrak g.\,

所謂 Adg 是一個李代數自同構是說 Adg\mathfrak g 的一個保持李括號的線性變換。映射

\mathrm{Ad}\colon G \to \mathrm{Aut}(\mathfrak g)

g 映為 Adg 稱為 G伴隨表示adjoint representation)。這确实是 G 的一個表示因為 \mathrm{Aut}(\mathfrak g)\mathrm{GL}(\mathfrak g) 的一個李子群且如上伴隨映射是李群同態。伴隨表示的維數與群 G 的維數相同。

李代数的伴随表示[编辑]

我們可以由李群 G 的一個表示通過在恒同處取導數變為它的李代數的表示。取伴隨映射的導數

\mathrm{Ad}\colon G \to \mathrm{Aut}(\mathfrak g),\,

給出李代數 \mathfrak g伴隨表示

\mathrm{ad}\colon \mathfrak g \to \mathrm{Der}(\mathfrak g).\,

這里 \mathrm{Der}(\mathfrak g)\mathrm{Aut}(\mathfrak g) 的李代數,可以與 \mathfrak g 上的導子代數等同。李代數的伴隨表示與這個代數的結構有基本的聯系。特別地,我們可以證明

\mathrm{ad}_x(y) = [x,y]\,

對所有 x,y \in \mathfrak g 成立。詳情請見李代数的伴随表示

例子[编辑]

  • 如果 G 是一個 n阿貝爾群G 的伴隨表示是n平凡表示
  • 如果 G 是一個矩陣李群(即 GL(n,C) 的一個閉子群),則它的李代數是一個以交換子作李括號的 n×n 矩陣代數(即 \mathfrak{gl}_n(\mathbb C) 的子代數)。此時,伴隨映射由 Adg(x) = gxg−1 給出。
  • 如果 GSL2(R)(橫列式為 1 的 2×2 實矩陣),G 的李代數由 0 實 2×2 矩陣組成。這個表示等價於 G 在兩個變量二次型空間上通過線性替換給出的作用。

性质[编辑]

下表總結了定義中提到的不同映射的性質

\Psi\colon G \to \mathrm{Aut}(G)\, \Psi_g\colon G \to G\,
李群同態:
  • \Psi_{gh} = \Psi_g\Psi_h
李群自同態:
  • \Psi_g(ab) = \Psi_g(a)\Psi_g(b)
  • (\Psi_g)^{-1} = \Psi_{g^{-1}}
\mathrm{Ad}\colon G \to \mathrm{Aut}(\mathfrak g) \mathrm{Ad}_g\colon \mathfrak g \to \mathfrak g
李群同態:
  • \mathrm{Ad}_{gh} = \mathrm{Ad}_g\mathrm{Ad}_h
李代數自同態:
  • \mathrm{Ad}_g 線性
  • (\mathrm{Ad}_g)^{-1} = \mathrm{Ad}_{g^{-1}}
  • \mathrm{Ad}_g[x,y] = [\mathrm{Ad}_g(x),\mathrm{Ad}_g(y)]
\mathrm{ad}\colon \mathfrak g \to \mathrm{Der}(\mathfrak g) \mathrm{ad}_x\colon \mathfrak g \to \mathfrak g
李代數同態:
  • \mathrm{ad} 线性
  • \mathrm{ad}_{[x,y]} = [\mathrm{ad}_x,\mathrm{ad}_y]
李代數導子:
  • \mathrm{ad}_x 線性
  • \mathrm{ad}_x[y,z] = [\mathrm{ad}_x(y),z] + [y,\mathrm{ad}_x(z)]

G 在伴隨映射下的記為 AdG。如果 G 連通,則伴隨表示的與 Ψ 的核相同,就是 G中心。從而,如果 G 中心平凡,則連通李群 G 的伴隨表示是忠實的。進一步,如果 G 不連通,伴隨映射的核是 G單位分支 G0中心化子。由第一同構定理我們有

\mathrm{Ad}_G \cong G/C_G(G_0).\,

半单李群的根[编辑]

如果 G 半單,伴随表示的非零组成一个根系。为了说明这是怎么回事,考虑特例 G=SLn(R)。

我们可取对角矩阵 diag(t1,...,tn) 的群是 G极大环面 T。用 T 中元素的共轭作用为

\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\
\end{bmatrix}
\mapsto
\begin{bmatrix}
a_{11}&t_1t_2^{-1}a_{12}&\cdots&t_1t_n^{-1}a_{1n}\\
t_2t_1^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots&t_2t_n^{-1}a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
t_nt_1^{-1}a_{n1}&t_nt_2^{-1}a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\
\end{bmatrix}.

从而 TG 的李代数的对角部分上的作用平凡,在非对角元素上有本征向量 titj-1G 的根是权 diag(t1,...,tn)→titj-1。这是 G=SLn(R) 的根系作为eiej 形式的向量集合的标准描述之说明。

变体与类比[编辑]

伴随表示也能对任何域上的代数群定义。

余伴随表示co-adjoint representation)是伴随表示的逆步表示亚历山大·卡里洛夫Alexandre Kirillov)观察到任何向量在余伴随表示中的轨道是一个辛流形。按照表示论中称之为轨道方法的哲学(另见卡里洛夫特征标公式Kirillov character formula)),一个李群 G 的不可约表示应该以某种方式用其余伴随表示标记。这种关系在幂零李群时最密切。

参考[编辑]