伴随表示

在數學中，一個李群 G 的伴隨表示（adjoint representation）或伴隨作用（adjoint action）是 G 在它自身的李代數上的自然表示。這個表示是群 G 在自身上的共軛作用的線性化形式。

正式定义

設 G 是一個李群，$\mathfrak g$ 是它的李代數（我們將其等價於 G 中恒同元素的切空間 T_eG）。利用方程 $\Psi(g)= \Psi_g$ 對 g 屬於 G，定義一個映射

$\Psi : G \to \mathrm{Aut}(G),\,$

這里 $\mathrm{Aut}(G)$ 是 G 的自同構群而自同構 $\Psi_g$ 定義為

$\Psi_g(h) = ghg^{-1}\,$ 對所有 h 屬於 G。

從而 Ψ_g 在恒同處的微分是李代數 $\mathfrak g$ 的一個自同構。我們記這個映射為 Ad_g：

$\mathrm{Ad}_g\colon \mathfrak g \to \mathfrak g.\,$

所謂 Ad_g 是一個李代數自同構是說 Ad_g 是 $\mathfrak g$ 的一個保持李括號的線性變換。映射

$\mathrm{Ad}\colon G \to \mathrm{Aut}(\mathfrak g)$

將 g 映為 Ad_g 稱為 G 的伴隨表示（adjoint representation）。這确实是 G 的一個表示因為 $\mathrm{Aut}(\mathfrak g)$ 是 $\mathrm{GL}(\mathfrak g)$ 的一個李子群且如上伴隨映射是李群同態。伴隨表示的維數與群 G 的維數相同。

李代数的伴随表示

我們可以由李群 G 的一個表示通過在恒同處取導數變為它的李代數的表示。取伴隨映射的導數

$\mathrm{Ad}\colon G \to \mathrm{Aut}(\mathfrak g),\,$

給出李代數 $\mathfrak g$ 的伴隨表示：

$\mathrm{ad}\colon \mathfrak g \to \mathrm{Der}(\mathfrak g).\,$

這里 $\mathrm{Der}(\mathfrak g)$ 是 $\mathrm{Aut}(\mathfrak g)$ 的李代數，可以與 $\mathfrak g$ 上的導子代數等同。李代數的伴隨表示與這個代數的結構有基本的聯系。特別地，我們可以證明

$\mathrm{ad}_x(y) = [x,y]\,$

對所有 $x,y \in \mathfrak g$ 成立。詳情請見李代数的伴随表示。

例子

• 如果 G 是一個 n 維阿貝爾群，G 的伴隨表示是n 維平凡表示。
• 如果 G 是一個矩陣李群（即 GL(n,C) 的一個閉子群），則它的李代數是一個以交換子作李括號的 n×n 矩陣代數（即 $\mathfrak{gl}_n(\mathbb C)$ 的子代數）。此時，伴隨映射由 Ad_g(x) = gxg⁻¹ 給出。
• 如果 G 是 SL₂(R)（橫列式為 1 的 2×2 實矩陣），G 的李代數由跡 0 實 2×2 矩陣組成。這個表示等價於 G 在兩個變量二次型空間上通過線性替換給出的作用。

性质

下表總結了定義中提到的不同映射的性質

$\Psi\colon G \to \mathrm{Aut}(G)\,$	$\Psi_g\colon G \to G\,$
李群同態: $\Psi_{gh} = \Psi_g\Psi_h$	李群自同態: $\Psi_g(ab) = \Psi_g(a)\Psi_g(b)$ $(\Psi_g)^{-1} = \Psi_{g^{-1}}$
$\mathrm{Ad}\colon G \to \mathrm{Aut}(\mathfrak g)$	$\mathrm{Ad}_g\colon \mathfrak g \to \mathfrak g$
李群同態: $\mathrm{Ad}_{gh} = \mathrm{Ad}_g\mathrm{Ad}_h$	李代數自同態: $\mathrm{Ad}_g$ 線性 $(\mathrm{Ad}_g)^{-1} = \mathrm{Ad}_{g^{-1}}$ $\mathrm{Ad}_g[x,y] = [\mathrm{Ad}_g(x),\mathrm{Ad}_g(y)]$
$\mathrm{ad}\colon \mathfrak g \to \mathrm{Der}(\mathfrak g)$	$\mathrm{ad}_x\colon \mathfrak g \to \mathfrak g$
李代數同態: $\mathrm{ad}$ 线性 $\mathrm{ad}_{[x,y]} = [\mathrm{ad}_x,\mathrm{ad}_y]$	李代數導子: $\mathrm{ad}_x$ 線性 $\mathrm{ad}_x[y,z] = [\mathrm{ad}_x(y),z] + [y,\mathrm{ad}_x(z)]$

G 在伴隨映射下的像記為 Ad_G。如果 G 連通，則伴隨表示的核與 Ψ 的核相同，就是 G 的中心。從而，如果 G 中心平凡，則連通李群 G 的伴隨表示是忠實的。進一步，如果 G 不連通，伴隨映射的核是 G 的單位分支 G₀ 的中心化子。由第一同構定理我們有

$\mathrm{Ad}_G \cong G/C_G(G_0).\,$

半单李群的根

如果 G 半單，伴随表示的非零权组成一个根系。为了说明这是怎么回事，考虑特例 G=SL_n(R)。

我们可取对角矩阵 diag(t₁,...,t_n) 的群是 G 的极大环面 T。用 T 中元素的共轭作用为

$\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} a_{11}&t_1t_2^{-1}a_{12}&\cdots&t_1t_n^{-1}a_{1n}\\ t_2t_1^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots&t_2t_n^{-1}a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ t_nt_1^{-1}a_{n1}&t_nt_2^{-1}a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{bmatrix}.$

从而 T 在 G 的李代数的对角部分上的作用平凡，在非对角元素上有本征向量 t_it_j^-1。G 的根是权 diag(t₁,...,t_n)→t_it_j^-1。这是 G=SL_n(R) 的根系作为e_i−e_j 形式的向量集合的标准描述之说明。

变体与类比

伴随表示也能对任何域上的代数群定义。

余伴随表示（co-adjoint representation）是伴随表示的逆步表示。亚历山大·卡里洛夫（Alexandre Kirillov）观察到任何向量在余伴随表示中的轨道是一个辛流形。按照表示论中称之为轨道方法的哲学（另见卡里洛夫特征标公式（Kirillov character formula）），一个李群 G 的不可约表示应该以某种方式用其余伴随表示标记。这种关系在幂零李群时最密切。

参考

• Fulton, William; Harris, Joe, Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag. 1991, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8 
• Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222, Springer-Verlag( reprinted by World Publishing Corporation, Beijing). 2004, ISBN 978-7-5062-8297-0/O·601