伴隨函子

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範疇論中,函子 F, G 若滿足 \mathrm{Hom}(F(-),-) = \mathrm{Hom}(-,G(-)) ,則稱之為一對伴隨函子,其中 G 稱為 F右伴隨函子,而 FG左伴隨函子。伴隨函子在範疇論中是個極基本而有用的概念。

定義[编辑]

F: \mathcal{C}_1 \to \mathcal{C}_2, \; G: \mathcal{C}_2 \to \mathcal{C}_1 為函子,若存在雙函子的同構

\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F(-),-) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(-,G(-))

則稱 F, G 為一對伴隨函子G 稱為 F右伴隨函子,而 FG左伴隨函子

上述同構進一步給出兩個同構

\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F \circ G(-),-) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(G(-), G(-))
\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_2}(F(-), F(-)) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_1}(-, G \circ F(-))

分別在同構的左右兩側置 \mathrm{id}_{F(-)}\mathrm{id}_{G(-)},遂得到函子間的態射(即自然變換):

\mathrm{id}_{\mathcal{C}_1} \to G \circ F \quad單位
F \circ G \to \mathrm{id}_{\mathcal{C}_2} \quad上單位

定義中的雙函子同構由單位與上單位唯一決定。

正合性[编辑]

F, G 是一對伴隨函子,若 F 為右正合则 G 為左正合;此命題可由正合函子極限的定義直接導出。

例子[编辑]

伴隨函子在數學中處處可見,以下僅舉出幾個例子:

文獻[编辑]

  • Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3-540-27949-0

外部連結[编辑]