位置向量

三维直角坐标系

在三维空间裏，相对于某参考点，一个质点的位置，可以用位置向量（又称向径或径矢）来表示。設定一坐标系。參考这坐标系，质点的坐标，就是相对于這坐标系的原点的位置向量。在运动学裏，位置向量是描述质点运动的基本参量，是一个向量：有大小，也有方向。

假设坐标系是直角坐标系，坐标轴为 x-轴、 y-轴與 z-轴，则质点的位置向量标记为 $(x,\,y,\,z)$ ；其中， $x$ 、$y$ 、$z$ 分别为质点對於 x-轴、 y-轴、與 z-轴的坐标。

例子：如右圖所展示的三维直角坐标系。原点的坐标為 $(0,\,0,\,0)$ 。參考这座標系，P 點的位置是 $(3,\,0,\,5)$ ，而 Q 點的位置是 $( - 5,\, - 5,\,7)$ 。

• 选定参考系，质点的位置由原点到质点的位置向量 $\mathbf{r}$ 表示，位置向量随时间 $t$ 的变化 $\mathbf{r}(t)$ 则完全描述了质点的运动。在力学裏，位置向量常被用来跟踪质点、粒子、或刚体的运动。

• 位置向量的改变称为位移，就是质点移动后的位置向量减去移动前的位置向量。假若 P 點移动到新的位置 $(6,\,3,\,1)$ ，那麼，P 點的位移是 $(6,\,3,\,1) - (3,\,0,\,5)=(3,\,3,\, - 4)$ 。

• 位置向量 $\mathbf{r}$ 對於时间 $t$ 的的导数称为速度 $\mathbf{v}$ ： $\mathbf{v}={d\mathbf{r} \over dt}$ 。

• 位置向量對於时间的二阶导数称为加速度 $\mathbf{a}$ ： $\mathbf{a}={d^2\mathbf{r} \over dt^2}$ 。

• 在线性代数裏，位置向量可以表達为基向量的线性组合。

• 微分几何用位置向量函数来描述连续性可微分曲线，其独立参数可以是时间，角度，或曲线径长。

不同坐标系中的位置向量

• 直角坐标系：$\mathbf{r}=x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}+z \hat{\mathbf{k}}$ 。
• 圓柱坐标系：$\mathbf{r}=\rho \hat{\boldsymbol{\rho}}\ +z \hat{\mathbf{z}}$ 。
• 球坐标系：$\mathbf{r}=r \hat{\mathbf{r}}$ 。

參閱

• 仿射空間
• 曲線
• 參數曲面(parametric surface)