位置算符

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量子力學裏,位置算符position operator)是一種量子算符。對應於位置算符的可觀察量是粒子的位置。位置算符的本徵值是位置向量。採用狄拉克標記,位置算符 \hat{x} 的本徵態 |x\rang 滿足方程式

\hat{x}|x\rang=x|x\rang

其中,x 是本徵值,是量子態為 |x\rang 的粒子所處的位置,x 只是一個數值。

位置空間表現[编辑]

設定量子態 |\Psi\rang=\hat{x}|\psi \rang 。量子態 |\Psi\rang|\psi\rang 的位置空間表現,即波函數,分別定義為

\Psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\Psi\rang
\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang

在位置空間裡,定義算符 \hat{\mathfrak{x}}

\hat{\mathfrak{x}}\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\  x\psi(x)

在位置空間裡,使用連續本徵態 |x'\rang 所組成的基底,任意量子態 |\psi\rang 展開為

|\psi \rang = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\   |x'\rang\lang x'|\psi\rang

將量子算符 \hat{x} 作用於量子態 |\psi\rang ,可以得到

\hat{x}|\psi \rang =\hat{x} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\   |x'\rang\lang x'|\psi\rang
 =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\  x' |x'\rang\lang x'|\psi\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\  x' \psi(x')|x'\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\ \hat{\mathfrak{x}}\psi(x') |x'\rang

應用狄拉克正交歸一性\lang x|x'\rang
=\delta(x-x') ,這方程式與左矢 \lang x| 的內積為

\lang x|\hat{x}|\psi \rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\  \hat{\mathfrak{x}}\psi(x') \lang x|x'\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\  \hat{\mathfrak{x}}\psi(x') \delta(x-x')
=\hat{\mathfrak{x}}\psi(x)

量子態 |\Psi\rang 的展開式為

\Psi \rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\   |x'\rang\lang x'|\Psi\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\  \Psi(x')|x'\rang

應用狄拉克正交歸一性,這方程式與左矢 \lang x| 的內積為

\lang x|\Psi \rang =\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\  \Psi(x')\lang x|x'\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x'\  \Psi(x') \delta(x-x')
=\Psi(x)

所以,兩個波函數 \Psi(x)\psi(x) 之間的關係為

\Psi(x)=\hat{\mathfrak{x}}\psi(x)

總結,位置算符 \hat{x} 作用於量子態 |\psi\rang 的結果 |\Psi\rang ,表現於位置空間,等價於波函數 \psi(x)x 的乘積 \Psi(x) 。位置算符 \hat{x} 的位置空間表現是位算符 \hat{\mathfrak{x}} ,可以稱算符 \hat{\mathfrak{x}} 為位置算符。

本徵函數[编辑]

假設,在位置空間裡,位置算符 \hat{\mathfrak{x}}本徵值q本徵函數g_q(x) 。用方程式表達,[1]

\hat{\mathfrak{x}}g_q(x)=q g_q(x)

這方程式的一般解為,

g_q(x)=g_0 \delta(x - q)

其中,g_0 是常數,\delta(x - q)狄拉克δ函數

注意到 g_q(x) 無法歸一化

\int_{ - \infty}^{\infty}\ g_q^*(x)g_q(x)\ dx=|g_0|^2 \int_{ - \infty}^{\infty}\ \delta^2(x - q)\ dx=\mbox{?}

設定 g_0=1 ,函數 g_q(x) 滿足下述方程式:

\int_{ - \infty}^{\infty}\ g_{q1}^*(x)g_{q2}(x)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \delta(x - q1)\delta(x - q2)\ dx=\delta(q1-q2)

這性質不是普通的正交歸一性,這性質稱為狄拉克正交歸一性。因為這性質,位置算符的本徵函數具有完備性,也就是說,任意波函數 \psi(x) 都可以表達為本徵函數的線性組合

\psi(x)=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi(q)g_{q}(x)\ dq

雖然本徵函數 g_q(x) 所代表的量子態是無法實際體現的,並且嚴格而論,不是一個函數,它可以視為代表一種理想量子態,這種理想量子態具有準確的位置 q ,因此,根據不確定性原理,這種理想量子態的動量均勻分佈

期望值[编辑]

採用位置空間表現,設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏,希爾伯特空間是 \mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}) ,是實值定義域平方可積函數的空間。[2]:11兩個態向量的內積是

\lang \psi_1| \psi_2 \rang = \int_{ - \infty}^{\infty}\psi_1^*(x)\psi_2(x) \, \mathrm{d}x

對於任意量子態 \psi ,可觀察量 x 的期望值為

 \lang x \rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang \psi | \hat{x} |\psi \rang

位置算符 \hat{x} 作用於量子態 |\psi\rang 的結果,表現於位置空間,等價於波函數 \psi(x)x 的乘積,所以,

 \lang x \rang =\int_{ - \infty}^{\infty}  \psi^\ast (x) \, x \, \psi(x) \, \mathrm{d}x
= \int_{ - \infty}^{\infty}  x \, |\psi(x)|^2 \, \mathrm{d}x

粒子處於 xx+dx 微小區間內的機率是

 p(x) \mathrm{d}x = \psi^*(x)\psi(x) \mathrm{d}x

粒子位置與機率的乘積在位置空間的積分,就是粒子位置的期望值。

三維案例[编辑]

推廣至三維空間相當直截了當,參數為三維位置 \bold{r} 的波函數為  \psi(\bold{r}) ,位置的期望值[2]:41-42

 \langle \bold{r} \rangle = \int_{\mathbb{V}} \bold{r} |\psi(\bold{r})|^2 \mathrm{d}^3  \bold{r}

其中,\mathbb{V} 是積分體積。

位置算符 \bold{\hat{\mathfrak{r}}} 的作用為

\bold{\hat{\mathfrak{r}}}\psi=\bold{r}\psi

對易關係[编辑]

位置算符與動量算符的對易算符,當作用於波函數時,會得到一個簡單的結果:

[\hat{x},\ \hat{p}]\psi=(\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x})\psi=x\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x} - \frac{\hbar}{i}\frac{\partial (x\psi)}{\partial x}=i\hbar\psi

所以,[\hat{x},\ \hat{p}]=i\hbar 。這關係稱為位置算符與動量算符的對易關係。由於兩者的對易關係不等於 0 ,位置與動量彼此是不相容可觀察量\hat{x}\hat{p} 絕對不會擁有共同的基底量子態。一般而言,\hat{x} 的本徵態與 \hat{p} 的本徵態不同。

根據不確定性原理

\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\langle[ A,\ B]\rangle}{2i}\right|

由於 xp 是兩個不相容可觀察量,\left|\frac{\langle[\hat{x},\ \hat{p}]\rangle}{2i}\right| =\hbar/2 。所以,x 的不確定性與 p 的不確定性的乘積 \Delta x\ \Delta p ,必定大於或等於 \hbar/2

參考文獻[编辑]

  1. ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 17, 104–109. ISBN 0-13-111892-7. 
  2. ^ 2.0 2.1 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics. 2nd, Addison-Wesley. 2010, ISBN 978-0805382914