位置算符

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在量子力學裏，位置算符(position operator)是一種算符，當作用於粒子的波函數，可以得到粒子的位置。給予一個粒子的波函數 $\psi(x)\,\!$ ，這粒子的位置的期望值為

$\langle x\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*(x)\hat{x}\psi(x)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*(x)x\psi(x)\ dx\,\!$ ；

其中，$x\,\!$ 是位置，$\hat{x}\,\!$ 是位置算符。

厄米算符

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量 $O\,\!$ 的期望值是實值的：

$\langle O\rangle=\langle O\rangle^*\,\!$ 。

對於任意量子態 $|\psi\rangle\,\!$ ，這關係都成立：

$\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle=\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*\,\!$ 。

根據伴隨算符的定義，假設 $\hat{O}^{\dagger}\,\!$ 是 $\hat{O}\,\!$ 的伴隨算符，則 $\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*=\langle\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rangle\,\!$ 。因此，

$\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\!$ 。

這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符 $\hat{O}\,\!$ ，都是厄米算符。

位置是一個可觀察量，位置算符 $\hat{x}\,\!$ 應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態 $|\psi\rangle\,\!$ 的波函數為 $\psi(x)\,\!$ ，

$\langle\psi|\hat{x}|\psi\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^* x \psi \ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi(x\psi)^*\ dx=\langle\psi|\hat{x}|\psi\rangle^*=\langle\psi|\hat{x}^{\dagger}|\psi\rangle \,\!$ 。

對於任意量子態 $|\psi\rangle\,\!$ ，$\hat{x}=\hat{x}^{\dagger}\,\!$ 。所以，動量算符確實是一個厄米算符。

本徵值與本徵函數

假設，位置算符 $\hat{x}\,\!$ 的本徵值為 $q\,\!$ 的本徵函數是 $g_q(x)\,\!$ 。用方程式表達，

$\hat{x}g_q(x)=q g_q(x)\,\!$ 。

這方程式的一般解為，

$g_q(x)=g_0 \delta(x - q)\,\!$ ；

其中，$g_0\,\!$ 是常數，$\delta(x - q)\,\!$ 是狄拉克δ函數。

雖然 $g_q(x)\,\!$ 無法歸一化：

$\int_{ - \infty}^{\infty}\ g_q^*(x)g_q(x)\ dx=|g_0|^2 \int_{ - \infty}^{\infty}\ \delta^2(x - q)\ dx=\mbox{?}\,\!$ 。

設定 $g_0=1\,\!$ ，我們可以使 $g_q(x)\,\!$ 滿足下述方程式：

$\int_{ - \infty}^{\infty}\ g_{q1}^*(x)g_{q2}(x)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \delta(x - q1)\delta(x - q2)\ dx=\delta(q1-q2)\,\!$ 。

這性質不是普通的正交歸一性。稱這性質為狄拉克正交歸一性。因為這性質，位置算符的本徵函數是完備的。也就是說，任意波函數 $\psi(x)\,\!$ 都可以表達為本徵函數的線性組合：

$\psi(x)=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi(q)g_{q}(x)\ dq\,\!$ 。

正則對易關係

位置算符與動量算符的交換算符，當作用於一個波函數時，有一個簡單的結果：

$[\hat{x},\ \hat{p}]\psi=(\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x})\psi=x\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x} - \frac{\hbar}{i}\frac{\partial (x\psi)}{\partial x}=i\hbar\psi\,\!$ 。

所以，$[\hat{x},\ \hat{p}]=i\hbar\,\!$ 。這關係稱為位置算符與動量算符的正則對易關係。由於兩者的正則對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是不相容可觀察量。$\hat{x}\,\!$ 與 $\hat{p}\,\!$ 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，$\hat{x}\,\!$ 的本徵態與 $\hat{p}\,\!$ 的本徵態不同。

根據不確定性原理，

$\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\langle[ A,\ B]\rangle}{2i}\right| \,\!$ 。

由於 $x\,\!$ 與 $p\,\!$ 是兩個不相容可觀察量，$\left|\frac{\langle[\hat{x},\ \hat{p}]\rangle}{2i}\right| =\hbar/2\,\!$ 。所以，$x\,\!$ 的不確定性與 $p\,\!$ 的不確定性的乘積 $\Delta x\ \Delta p \,\!$ ，必定大於或等於 $\hbar/2\,\!$ 。

參考文獻

• Griffiths, David J.. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004:  pp. 17, 104-109. ISBN 0-13-111892-7.