体积形式

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数学中,体积形式提供了函数在不同坐标系(比如球坐标圆柱坐标)下对体积积分的一种工具。更一般地,一个体积元是流形上一个测度

在一个定向 n-维流形上,体积元典型地由体积形式生成,所谓体积元是一个处处非零的 n-阶微分形式。一个流形具有体积形式当且仅当它是可定向的,而可定向流形有无穷多个体积形式(细节见下)。

有一个推广的伪体积形式概念,对无论可否定向的流形都存在。

许多类型的流形有典范的(伪)体积形式,因为它们有额外的结构保证可选取一个更好的体积形式。在复情形,一个带有全纯体积形式的凯勒流形卡拉比-丘流形

定义[编辑]

流形 M 上一个体积形式是处处非 0 的最高阶(n-维流形上的 n-形式)微分形式

线丛的语言来说,称最高阶外积 \Omega^n(M) = \Lambda^n(T^*M)行列式线丛n-形式是它的截面

对不可定向流形,一个体积“伪”形式,也称为“奇”或“扭曲”的体积形式,可以定义为定向丛的一个处处非 0 截面;这个定义同样适用于定向流形。在这种看法下,(非扭曲的)微分形式就是“偶” n-形式。除非特别地讨论扭曲形式时,我们总是略去形容词“偶”。

第一次明确地引入扭曲微分形式是德拉姆

定向[编辑]

一个流形具有体积形式当且仅当它可定向,这也可以作为可定向的一个定义。

G-结构的语言中,一个体积形式是一个 SL-结构。因为 \mbox{SL} \to \mbox{GL}^+形变收缩(因为 \mbox{GL}^+ = \mbox{SL} \times \mathbf{R}^+,这里正实数视为纯量矩阵),一个流形具有一个 SL-结构当且仅当具有一个 \mbox{GL}^+-结构,即是一个定向。

线丛的语言中,行列式丛 \Omega^n(M)平凡性等价于可定向性,而一个线丛是平凡的当且仅当它有一个处处非 0 的截面,这样又得到,体积形式的存在性等价于可定向性。

对于伪体积形式,一个伪体积形式是一个 \mbox{SL}^\pm-结构,因为 \mbox{SL}^\pm \to \mbox{GL} 同伦等价(事实上是形变收缩),任何流形都有伪体积形式。类似地,定向丛总是平凡的,所以任何流形都有一个伪体积形式。

和测度的关系[编辑]

任何流形有一个伪体积形式,因为定向丛(作为线丛)是平凡的。给定一个定向流形上的体积形式 ω,密度 |ω| 是忘掉定向结构的非定向流形的一个伪体积形式。

任何伪体积形式 ω(从而任何体积形式亦然)定义了一个波莱尔集合上一个测度:

\mu_\omega(U)=\int_U\omega. \,\!

注意区别,在于任何一个测度可以在(Borel)子集上积分,而一个体积形式只能在一个“定向”胞腔上积分。在单变量微积分中,写成 \int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx,将 dx 视为体积形式而不是测度,\int_b^a 表明“在 [a,b] 上沿着定向相反的反向积分”,有时记成 \overline{[a,b]}

进一步,一般的测度不必连续或光滑,他们不必由体积形式定义;或更形式地说,关于一个体积形式的Radon-Nikodym 导数不必绝对连续

例子[编辑]

李群[编辑]

任何李群,可以由平移定义一个自然的体积形式。这就是说,如果 ωe\bigwedge^n T_e^*G 中一个元素,那么一个左不变形式可以定义为 \omega_g=L_g^*\omega_e,这里Lg 为左平移。作为一个推论,任何李群都是可定向的。这个体积形式在相差一个常数的意义下是惟一的,相应的测度称为哈尔测度

辛流形[编辑]

任何辛流形(或更确切地为殆辛流形)有一个自然的体积形式。如果 M 是一个带有辛形式 ω 的 2n-维流形,那么由辛形式非退化可知 ωn 处处非零。作为一个推论,任何辛流形是可定向的(事实上,已经定向)。

黎曼体积形式[编辑]

任何黎曼流形(或伪黎曼流形)有一个自然的体积(或伪体积)形式。在局部坐标系下,能写成表达式:

\omega = \sqrt{|g|} dx^1\wedge \dots \wedge dx^n

这里流形为 n-维,|g| 是流形上度量张量行列式的绝对值,dx^i 为组成流形余切丛一组基的 1形式

这个体积形式有许多不同的记号,包括:

\omega = \mathrm{vol}_n = \epsilon = *(1) . \,\!

这里 ∗ 是霍奇对偶,从而最后一个形式 ∗(1) 强调体积形式是流形上常数映射的霍奇对偶。

尽管希腊字母 ω 经常用于表示体积形式,但是这个记法很难通用,符号 ω 在微分几何中经常有其它意思(比如辛形式),所以一个公式中的 ω 不一定就表示体积形式。

一个流形如果既是辛的又是黎曼的,如果流形是凯勒的那种方式定义的体积形式相等。

曲面的体积形式[编辑]

体积形式一个简单的例子可以考虑嵌入 n-维欧几里得空间中的 2-维曲面。考虑子集 U \subset \mathbf{R}^2,以及映射函数

\phi:U\to \mathbf{R}^n

定义了嵌入到 \mathbf{R}^n 中的一个曲面。映射的雅可比矩阵

\lambda_{ij}=\frac{\partial \phi_i} {\partial u_j}

指标 i 从 1 跑到 nj 从 1 跑到 2。n-维空间的欧几里得度量诱导了集合 U 上的一个度量,度量矩阵分量为:

g_{ij}=\sum_{k=1}^n \lambda_{ki} \lambda_{kj}
= \sum_{k=1}^n
\frac{\partial \phi_k} {\partial u_i}
\frac{\partial \phi_k} {\partial u_j}

度量的行列式

\det g = \left| 
\frac{\partial \phi} {\partial u_1} \wedge
\frac{\partial \phi} {\partial u_2}
\right|^2 = \det (\lambda^T \lambda)

给出,这里 \wedge楔积。对一个正则曲面,这个行列式不为 0;等价地,雅可比矩阵的秩为 2 。

现在考虑 U 的一个坐标变换,由微分同胚

f \colon U\to U , \,\!

给出。从而坐标 (u_1,u_2)(v_1,v_2) 形式表示是 (u_1,u_2)= f(v_1,v_2)。坐标变换的雅可比矩阵为:

F_{ij}= \frac{\partial f_i} {\partial v_j}

在新坐标系下,我们有:

\frac{\partial \phi_i} {\partial v_j} = 
\sum_{k=1}^2 
\frac{\partial \phi_i} {\partial u_k}
\frac{\partial f_k} {\partial v_j}

从而度量变换为:

\tilde{g} = F^T g F

这里 \tilde{g} 是在 v 坐标系下的度量。行列式:

\det \tilde{g} = \det g (\det F)^2 .

给出以上构造后,现在可以直接理解为什么体积在坐标变换下不变的。在 2 维,体积就是面积。子集 B\subset U 的面积由积分:

\begin{align}
 \mbox{Area}(B)
 &= \iint_B \sqrt{\det g}\; du_1 du_2 \\
 &= \iint_B \sqrt{\det g} \;\det F \;dv_1 dv_2 \\
 &= \iint_B \sqrt{\det \tilde{g}} \;dv_1 dv_2
\end{align}

给出。从而,在任一坐标系下,体积都有相同的表达式,即这个表达式在坐标变换下是不变的。

注意到在以上表达式中 2 维并没有任何特殊性,以上结论可以平凡地推广到任意维数。

体积形式不变性[编辑]

体积形式不是惟一的,它们以如下方式组成了流形上非 0 函数上的一个旋子。这是Radon–Nikodym 定理的一个几何形式。

给定 M 上一个处处函数 f,和一个体积形式 \omegaf\omega 也是 M 上的体积形式。相反地,给定任何两个体积形式 \omega, \omega',他们的比是一个处处非 0 函数(如果定向相同为正,定向相反为负)。

在坐标系中,他们都不过是一个处处非 0 函数乘以勒贝格测度,他们的比就是函数的比,这和坐标系的选取无关。本质上,这是 \omega' 关于 \omegaRadon–Nikodym 导数

无局部结构[编辑]

一个体积形式没有局部结构:任何两个体积形式(在相同维数的流形上)是局部同构的。

正式地说,这个结论意味着给定任何两个同维数的流形 M,N,分别具有体积形式 \omega_M, \omega_N,对任何点 m\in M, n\in N,存在一个映射 f\colon U \to V (这里 Um 的一个邻域而 Vn 的一个邻域),使得 N (限制在邻域 V 上)上的体积形式拉回M (限制在邻域 U )上的体积形式:f^*\omega_N\vert_V = \omega_M\vert_U。给定维数的可微流形是局部微分同胚的;增添的判断标准是体积形式拉回到体积形式。

在 1 维情形,可以这样证明:给定 \mathbf{R} 上一个体积形式 \omega,定义

f(x) := \int_0^x \omega

那么标准勒贝格测度 dx 通过 f: \omega = f^*dx 拉回到 \omega ,实际上,\omega = f\,dx

高维数时,给定任何一点 m \in M,存在一个邻域局部同胚于 \mathbf{R}\times\mathbf{R}^{n-1},我们可以进行相同的步骤。

整体机构:体积[编辑]

连通流形 M 上一个体积形式有一个惟一的整体不变量,即总体积(记作 \mu(M)),在保持体积形式的映射下不变;总体积可能是无穷,比如 \mathbf{R}^n 上的勒贝格测度。对于一个不连通流形,任何连通分支的体积是不变量。

用符号表示,如果 f\colon M \to N 是流形的同胚,将 \omega_N 拉回到 \omega_M,那么

\mu(N)=\int_N \omega_N = \int_{f(M)} \omega_N = \int_M f^*\omega_N = \int_M \omega_M=\mu(M)

从而流形具有相同的体积。

体积形式也能在覆盖映射下拉回,在此情况下将体积乘以纤维基数(形式地说,在纤维上积分)。在无穷重覆盖(比如 \mathbf{R} \to S^1 ),有限体积流形上的体积形式拉回到一个无穷体积流形上的体积形式。

反过来,Jürgen K.MoserJürgen Moser[1] 的一个定理指出,对于连通紧流形上两个体积相等的体积形式 \omega_1\omega_2,存在一个流形的微分自同胚将 \omega_1 拉回到 \omega_2,事实上存在由的形成同痕

另见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ http://www.ams.org/notices/200011/mem-moser.pdf
  • Michael Spivak, Calculus on Manifolds, (1965) W.A. Benjamin, Inc. Reading, Massachusetts ISBN 0-8053-9021-9 (提供了一个微分几何的现代理念的初等介绍,只需要一般的微积分背景。)