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作用量-角度坐标

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經典力學裏,作用量-角度坐標(action-angle coordinate)是一組正則坐標,通常在解析可積分系統 (Integrable system) 時,有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法,不需要先解析運動方程式,就能夠求得振動旋轉頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式哈密頓量顯性地不含時間,也就是說,能量保持恆定)。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為,保持作用量的不變設定了環的曲面,而角度是環面的另外一個坐標,粒子依照著角度,捲繞於環面。

量子力學早期,波動力學發展成功之前,波耳-索末菲量子化條件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力學的利器。此條件闡明,作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難,都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。

哈密頓力學裏,作用量-角度坐標也可以應用於微擾理論,特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾,混沌理論研究的最早的一個結果是 KAM theorem 。這定理闡明,對於微小微擾,環面不變量是穩定的。

作用量-角度坐標,對於戶田晶格 (Toda field theory) 的解析,對於 Lax pairs 的定義,更廣義地,對於一個系統同光譜 (isospectral) 演化的構想,都佔有關鍵地位。

導引[编辑]

保守的哈密頓量系統[编辑]

主條目:哈密頓特徵函數

假設,在一個物理系統裏,哈密頓量是保守的,也就是說,哈密頓量 \mathcal{H} 顯含時間;

\mathcal{H}(\mathbf{q};\ \mathbf{p})=a_\mathcal{H}

其中,a_\mathcal{H}運動常數\mathbf{q}廣義坐標\mathbf{p}廣義動量

採用哈密頓特徵函數 W(\mathbf{q};\ \mathbf{P})正則變換第二型生成函數。變換方程式為

\mathbf{p}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}
\mathbf{Q}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{P}}

其中,\mathbf{Q} 是新廣義坐標\mathbf{P} 是新廣義動量

新哈密頓量 \mathcal{K} 與舊哈密頓量 \mathcal{H} 相等:

\mathcal{K}(\mathbf{Q};\ \mathbf{P})=\mathcal{H}(\mathbf{q};\ \mathbf{p})=a_\mathcal{H}

新廣義動量的哈密頓方程式

\dot{\mathbf{P}}= - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial  Q}=0,\!

所以,新廣義動量是常數 \mathbf{a}

\mathbf{P}=\mathbf{a}

假設,這物理系統的哈密頓-亞可比方程式 \mathcal{H}\left(\mathbf{q},\ \frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}\right)= a_{\mathcal{H}} 為完全可分的,則哈密頓特徵函數 W(\mathbf{q};\ \mathbf{P}) 可以分離為 n 個函數 W_i

W(\mathbf{q};\ \mathbf{a})=\sum_{i=1}^n\ W_i(q_i;\ \mathbf{a})

哈密頓特徵函數與新舊正則坐標的關係是

p_i=\frac{\partial W_i(q_i;\ \mathbf{a})}{\partial q_i}
Q_{i}=\sum_{j=1}^n\ \frac{\partial W_j(q_j;\ \mathbf{a})}{\partial a_{i}}

週期性運動[编辑]

假若,粒子的運動是週期性運動,最常見的例子如振動旋轉都是週期性運動,則可以設計一個新正則坐標-作用量-角度坐標 (\mathbf{w},\ \mathbf{J}) 。定義作用量為

J_{i} \equiv \oint p_{i} dq_{i}

這閉路徑積分的路徑是粒子運動一週期的路徑。

由於廣義動量 p_i 只跟 q_i\mathbf{a} 有關,經過積分,作用量J_{i} 只跟 \mathbf{a} 有關。所以,作用量向量 \mathbf{J} 只是個常數向量。哈密頓特徵函數可以表達為

W(\mathbf{q};\ \mathbf{J})=\sum_{i=1}^n\ W_i(q_i;\ \mathbf{J})

雖然是同樣的物理量,函數的參數不同,形式也不同。

定義角度 \mathbf{w}

w_{i} \equiv \frac{\partial W}{\partial J_i}=\sum_{j=1}^n\ \frac{\partial W_j(q_j;\ \mathbf{J})}{\partial J_{i}}

由於所有的廣義坐標 q_i 都相互獨立,所有的廣義動量 p_i 也都相互獨立,所以,所有的作用量 J_i 都相互獨立,作用量-角度坐標可以正確的用為正則坐標。這樣,哈密頓特徵函數可以用正則坐標作用量-角度坐標表達為

W(\mathbf{w};\ \mathbf{J})=\sum_{i=1}^n\ W_i(w_i;\ \mathbf{J})

新哈密頓量 \mathcal{K}' 與舊哈密頓量 \mathcal{H} 相等:

\mathcal{K}'(\mathbf{w};\ \mathbf{J})=\mathcal{H}(\mathbf{q};\ \mathbf{p})=a_\mathcal{H}

因為作用量 J_i=J_i(\mathbf{a}) 只是常數向量,所以,

 - \dot{J}_i=\frac{\partial \mathcal{K}'}{\partial w_i}=0

哈密頓量 \mathcal{K}'=\mathcal{K}'(\mathbf{J}) ,只跟作用量 \mathbf{J} 有關,跟角度 \mathbf{w} 無關。

角度 w_i 隨時間的導數 \nu_i ,可以用哈密頓方程式決定:

\nu_{i}(\mathbf{J})=\dot{w}_{i} = \frac{\partial \mathcal{K}'}{\partial J_{i}}

每一個 J_i 都是常數,所以,\nu_i(\mathbf{J}) 也是常數:

w_{i} = \nu_{i} t + \beta_{i}

其中,\beta_{i} 是積分常數。

運動頻率[编辑]

假設原本廣義坐標 q_{i} 的振蕩或旋轉的運動週期為 T_i ,則其對應的角度變數 w_{i} 的改變是 \Delta w_{i} = \nu_{i} T_i 。進一步了解物理量 \nu_i 的性質,猜想 \nu_i 與廣義坐標 q_{i} 週期性運動的頻率有關。可是,因為角度 w_{i} 是廣義座標 \mathbf{q} 與作用量 \mathbf{J} 的函數,無法確定前面的猜想。為了證實這論點,計算週期 T_i

T_{i}=\oint dt=\oint \frac{dq_i}{\dot{q_i}}=\oint \cfrac{dq_i}{\ \ \cfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}\ \ }

新哈密頓量 \mathcal{K}'(\mathbf{J}) 與舊哈密頓量 \mathcal{H} 相等。所以,

\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}=\sum_{j=1}^n \frac{\partial \mathcal{K}'}{\partial J_j}\frac{\partial J_j}{\partial p_i}=\sum_{j=1}^n \nu_j \frac{\partial J_j}{\partial p_i}

假若 q_{j} 是個循環坐標,那麼,其共軛動量 p_{j} 必是個常數,可以從作用量的定義積分內提出來:

J_{j}\equiv \oint p_{j} dq_{j}=p_{j}\oint  dq_{j}=p_j \ell

其中,\ellq_{j} 運動一週期的值。

這樣,

\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}=\sum_{j=1}^n \nu_j \delta_{ij}\, \ell=\nu_i\,\ell

代入週期 T_i 的公式,

T_{i}=\oint \frac{dq_i}{\nu_i(\mathbf{J})\,\ell}=\frac{1}{\nu_i}

肯定地,\nu_i 是廣義坐標 q_i 的頻率。

假若 q_{j} 不是循環坐標,則不能將其共軛動量 p_{j} 從作用量的定義積分內提出來,必須採用另外一個方法計算。從角度的定義,可以察覺角度 w_{i} 跟廣義坐標 \mathbf{q} 、作用量 \mathbf{J} 有關:

w_{i}=w_i(\mathbf{q};\ \mathbf{J})

保持作用量不變,角度的虛位移 \delta w_{i} 是:

\delta w_{i}=\sum_{j=1}^n \frac{\partial w_i}{\partial q_j} dq_j

在一個週期性物理系統裏,每一個廣義坐標 q_i 都有它運動的週期 T_i 。假若,其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同,則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若,兩個廣義坐標的週期不同 T_1T_2 。在做閉路徑積分的時候,就必須使用使用一個新的週期 T ,讓閉路徑積分能夠開始與結束於同一點.假若,兩個週期的比例是個有理數,則稱這兩個週期互相可通約的。設定新週期為

T=m_1T_1+m_2T_2

其中,\frac{T}{T_1}\frac{T}{T_2}m_1m_2 ,都是正值的整數。

同樣地,在多重週期性物理系統裏,假若,每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的,則此系統是完全可通約的,稱此系統為完全可通約系統。那麼,新週期 T

T=\sum_{i=1}^n m_iT_i

其中,\frac{T}{T_i}m_i ,都是正值的整數。

經過一個週期 T ,角度 w_{i} 的變化是:

\Delta w_{i} = \nu_{i}m_i T_i=\oint \sum_{j=1}^n \frac{\partial w_{i}}{\partial q_{j}} dq_{j} =\oint\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2 W_k(q_k;\ \mathbf{J})}{\partial q_{j}\ \partial J_{i}}dq_{j}

由於作用量 J_{i} 是個常數,可以將它從積分內提出:

\Delta w_{i}=\frac{d}{dJ_{i}} \oint \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{\partial W_k(q_k;\ \mathbf{J})}{\partial q_{j}} dq_{j} = 
\frac{d}{dJ_{i}} \oint \sum_{j=1}^n p_{j} dq_{j} = \frac{d}{dJ_{i}}\sum_{j=1}^n m_jJ_j=m_i

所以,頻率是

 \nu_{i}(\mathbf{J}) = \frac{1}{T}

假若,有任何兩個互相不可通約的廣義坐標 q_iq_j ,其週期 T_iT_j 的比例是無理數。那麼,q_i 不可能與 q_j 同時回到同一點。雖然如此,有理論證明, \nu_{i} \nu_{i} 仍舊分別是 q_iq_j 的頻率。

傅立葉級數[编辑]

角度 \mathbf{w} 是一組互相獨立的廣義坐標。所以,一般而言,每一個廣義坐標 q_{k} 可以用角度的傅立葉級數表示:

q_{k} = \sum_{s_{1}=-\infty}^{\infty} \sum_{s_{2}=-\infty}^{\infty} \ldots \sum_{s_{N}=-\infty}^{\infty} A^{k}_{s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{N}} e^{i2\pi s_{1} w_{1}} e^{i2\pi s_{2} w_{2}} \ldots e^{i2\pi s_{N} w_{N}}

其中, A^{k}_{s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{N}} 是傅立葉級數係數。

在大多數實際案例,物理系統的哈密頓-亞可比方程式 \mathcal{H}\left(\mathbf{q},\ \frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}\right)= a_{\mathcal{H}} 為完全可分的。那麼,一個原本廣義坐標 q_{k} 只需用其相應的角度變數的傅立葉級數表示:

q_{k} = \sum_{s_{k}=-\infty}^{\infty} e^{i2\pi s_{i} w_{i}}

基本規則總結[编辑]

一般程序有三個步驟:

  1. 計算作用量變數 J_{i}
  2. 用作用量變數表示原本哈密頓量。
  3. 取哈密頓量關於作用量變數的導數。這樣,可以求得頻率 \nu_{i}

簡併度[编辑]

在有些案例,兩個不同的廣義坐標會有相同的頻率;也就是說,\nu_{i} = \nu_{j} for i \neq j 。稱這些案例的運動狀態為簡併

簡併的運動給出暗示,很可能有更多的保守量。例如,克卜勒問題的頻率是簡併的,這對應於拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性。

簡併的運動還給出暗示,在多於一種坐標系統裏,哈密頓-亞可比方程式會是完全可分的。例如,克卜勒問題球坐標系拋物線坐標系,都是完全可分的。

參考文獻[编辑]

  • H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.