作用量-角度坐标

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在經典力學裏，作用量-角度坐標是一組正則坐標，通常在解析可積分系統 (Integrable system) 時，有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法，我們不需要先解析運動方程式，就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式（哈密頓量顯性的獨立於時間，也就是說，能量保持恆定）。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為，保持作用量的不變設定了環的曲面，而角度是環面的另外一個坐標，粒子依照著角度，捲繞於環面。

在量子力學早期，波動力學發展成功之前，波耳-索末菲量子化條件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力學的利器。此條件闡明，作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難，都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。

在哈密頓力學裏，作用量-角度坐標也可以應用於微擾理論，特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾，混沌理論研究的最早的一個結果是 KAM theorem 。這定理闡明，對於微小微擾，環面不變量是穩定的。

作用量-角度坐標，對於戶田晶格 (Toda field theory) 的解析，對於 Lax pairs 的定義，更廣義地，對於一個系統同光譜 (isospectral) 演化的構想，都佔有關鍵地位。

目录

[编辑] 導引

[编辑] 保守的哈密頓量系統

主條目：哈密頓特徵函數

假設，在一個物理系統裏，哈密頓量是保守的，也就是說，哈密頓量 \mathcal{H}\,\! 顯性的不相依於時間；

\mathcal{H}(\mathbf{q};\ \mathbf{p})=a_\mathcal{H}\,\! ；

其中，a_\mathcal{H}\,\! 是運動常數，\mathbf{q}\,\! 是廣義坐標，\mathbf{p}\,\! 是廣義動量。

採用哈密頓特徵函數 W(\mathbf{q};\ \mathbf{P})\,\! 為正則變換的第二型生成函數。變換方程式為

\mathbf{p}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}\,\! ，
\mathbf{Q}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{P}}\,\! ；

其中，\mathbf{Q}\,\! 是新廣義坐標，\mathbf{P}\,\! 是新廣義動量。

新哈密頓量 \mathcal{K}\,\! 與舊哈密頓量 \mathcal{H}\,\! 相等：

\mathcal{K}(\mathbf{Q};\ \mathbf{P})=\mathcal{H}(\mathbf{q};\ \mathbf{p})=a_\mathcal{H}\,\! 。

新廣義動量的哈密頓方程式為

\dot{\mathbf{P}}= - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial Q}=0,\! 。

所以，新廣義動量是常數 \mathbf{a}\,\! ：

\mathbf{P}=\mathbf{a}\,\! ，

假設，這物理系統的哈密頓-亞可比方程式 \mathcal{H}\left(\mathbf{q},\ \frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}\right)= a_{\mathcal{H}}\,\! 為完全可分的，則哈密頓特徵函數 W(\mathbf{q};\ \mathbf{P})\,\! 可以分離為 n\,\! 個函數 W_i\,\! ：

W(\mathbf{q};\ \mathbf{a})=\sum_{i=1}^n\ W_i(q_i;\ \mathbf{a})\,\! 。

哈密頓特徵函數與新舊正則坐標的關係是

p_i=\frac{\partial W_i(q_i;\ \mathbf{a})}{\partial q_i}\,\! ，
Q_{i}=\sum_{j=1}^n\ \frac{\partial W_j(q_j;\ \mathbf{a})}{\partial a_{i}}\,\! 。

[编辑] 週期性運動

假若，粒子的運動是週期性運動；最常見的例子如振動或旋轉都是週期性運動。我們可以設計一個新正則坐標－作用量-角度坐標 (\mathbf{w},\ \mathbf{J})\,\! 。定義作用量為

J_{i} \equiv \oint p_{i} dq_{i}\,\! ；

這閉路徑積分的路徑是粒子運動一週期的路徑。

由於廣義動量 p_i\,\! 只相依於 q_i\,\! 與 \mathbf{a}\,\! ，經過積分，作用量J_{i}\,\! 只相依於 \mathbf{a}\,\! 。所以，作用量向量 \mathbf{J}\,\! 只是個常數向量。哈密頓特徵函數可以表達為

W(\mathbf{q};\ \mathbf{J})=\sum_{i=1}^n\ W_i(q_i;\ \mathbf{J})\,\! 。

雖然是同樣的物理量，函數的參數不同，形式也不同。

定義角度 \mathbf{w}\,\! 為

w_{i} \equiv \frac{\partial W}{\partial J_i}=\sum_{j=1}^n\ \frac{\partial W_j(q_j;\ \mathbf{J})}{\partial J_{i}}\,\! 。

由於所有的廣義坐標 q_i\,\! 都相互獨立，所有的廣義動量 p_i\,\! 也都相互獨立，所以，所有的作用量 J_i\,\! 都相互獨立，作用量-角度坐標可以正確的用為正則坐標。這樣，哈密頓特徵函數可以用正則坐標作用量-角度坐標表達為

W(\mathbf{w};\ \mathbf{J})=\sum_{i=1}^n\ W_i(w_i;\ \mathbf{J})\,\! 。

新哈密頓量 \mathcal{K}'\,\! 與舊哈密頓量 \mathcal{H}\,\! 相等：

\mathcal{K}'(\mathbf{w};\ \mathbf{J})=\mathcal{H}(\mathbf{q};\ \mathbf{p})=a_\mathcal{H}\,\! 。

因為作用量 J_i=J_i(\mathbf{a})\,\! 只是常數向量，所以，

- \dot{J}_i=\frac{\partial \mathcal{K}'}{\partial w_i}=0\,\! 。

新哈密頓量 \mathcal{K}'=\mathcal{K}'(\mathbf{J})\,\! ，只相依於作用量 \mathbf{J}\,\! ，不相依於角度 \mathbf{w}\,\! 。

角度 w_i\,\! 隨時間的導數 \nu_i\,\! ，可以用哈密頓方程式決定：

\nu_{i}(\mathbf{J})=\dot{w}_{i} = \frac{\partial \mathcal{K}'}{\partial J_{i}}\,\! 。

每一個 J_i\,\! 都是常數，所以，\nu_i(\mathbf{J})\,\! 也是常數：

w_{i} = \nu_{i} t + \beta_{i}\,\! ；

其中，\beta_{i}\,\! 是積分常數。

[编辑] 運動頻率

假設原本廣義坐標 q_{i}\,\! 的振蕩或旋轉的運動週期為 T_i\,\! ，則其對應的角度變數 w_{i}\,\! 的改變是 \Delta w_{i} = \nu_{i} T_i\,\! 。我們很希望能夠進一步了解物理量 \nu_i\,\! 的性質。我們猜想 \nu_i\,\! 與廣義坐標 q_{i}\,\! 週期性運動的頻率有關。可是，角度 w_{i}\,\! 是廣義座標 \mathbf{q}\,\! 與作用量 \mathbf{J}\,\! 的函數。我們無法確定前面的猜想。為了證實這論點，讓我們計算週期 T_i\,\! ：

T_{i}=\oint dt=\oint \frac{dq_i}{\dot{q_i}}=\oint \cfrac{dq_i}{\ \ \cfrac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}\ \ }\,\! 。

新哈密頓量 \mathcal{K}'(\mathbf{J})\,\! 與舊哈密頓量 \mathcal{H}\,\! 相等。所以，

\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}=\sum_{j=1}^n \frac{\partial \mathcal{K}'}{\partial J_j}\frac{\partial J_j}{\partial p_i}=\sum_{j=1}^n \nu_j \frac{\partial J_j}{\partial p_i}\,\! 。

假若 q_{j}\,\! 是個循環坐標，那麼，其共軛動量 p_{j}\,\! 必是個常數，可以從作用量的定義積分內提出來：

J_{j}\equiv \oint p_{j} dq_{j}=p_{j}\oint dq_{j}=p_j \ell\,\! ；

其中，\ell\,\! 是 q_{j}\,\! 運動一週期的值。

這樣，

\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}=\sum_{j=1}^n \nu_j \delta_{ij}\, \ell=\nu_i\,\ell\,\! 。

代入週期 T_i\,\! 的公式，

T_{i}=\oint \frac{dq_i}{\nu_i(\mathbf{J})\,\ell}=\frac{1}{\nu_i}\,\! 。

肯定地，\nu_i\,\! 是廣義坐標 q_i\,\! 的頻率。

假若 q_{j}\,\! 不是循環坐標，那麼，我們不能將其共軛動量 p_{j}\,\! 從作用量的定義積分內提出來。我們必須採用另外一個方法計算。從角度的定義，我們知道一個角度 w_{i}\,\! 相依於廣義坐標 \mathbf{q}\,\! 與作用量 \mathbf{J}\,\! ：

w_{i}=w_i(\mathbf{q};\ \mathbf{J})\,\! 。

保持作用量不變，角度的虛位移 \delta w_{i}\,\! 是：

\delta w_{i}=\sum_{j=1}^n \frac{\partial w_i}{\partial q_j} dq_j\,\! 。

在一個週期性物理系統裏，每一個廣義坐標 q_i\,\! 都有它運動的週期 T_i\,\! 。假若，其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同，則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若，兩個廣義坐標的週期不同 T_1\,\! 、T_2\,\! 。在做閉路徑積分的時候，就必須使用使用一個新的週期 T\,\! ，讓閉路徑積分能夠開始與結束於同一點．假若，兩個週期的比例是個有理數，則稱這兩個週期互相可通約的。我們可以設定新週期為

T=m_1T_1+m_2T_2\,\! ；

其中，\frac{T}{T_1}\,\! 、\frac{T}{T_2}\,\! 、m_1\,\! 、m_2\,\! ，都是正值的整數。

同樣地，在多重週期性物理系統裏，假若，每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的，則此系統是完全可通約的，稱此系統為完全可通約系統。那麼，新週期 T\,\! 為

T=\sum_{i=1}^n m_iT_i\,\! ；

其中，\frac{T}{T_i}\,\! 、m_i\,\! ，都是正值的整數。

經過一個週期 T\,\! ，角度 w_{i}\,\! 的變化是：

\Delta w_{i} = \nu_{i}m_i T_i=\oint \sum_{j=1}^n \frac{\partial w_{i}}{\partial q_{j}} dq_{j} =\oint\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2 W_k(q_k;\ \mathbf{J})}{\partial q_{j}\ \partial J_{i}}dq_{j} \,\! 。

由於作用量 J_{i}\,\! 是個常數，我們可以將它從積分內提出：

\Delta w_{i}=\frac{d}{dJ_{i}} \oint \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{\partial W_k(q_k;\ \mathbf{J})}{\partial q_{j}} dq_{j} = \frac{d}{dJ_{i}} \oint \sum_{j=1}^n p_{j} dq_{j} = \frac{d}{dJ_{i}}\sum_{j=1}^n m_jJ_j=m_i\,\! 。

所以，頻率是

\nu_{i}(\mathbf{J}) = \frac{1}{T}\,\! 。

假若，有任何兩個互相不可通約的廣義坐標 q_i\,\! 、q_j\,\! ，其週期 T_i\,\! 、T_j\,\! 的比例是無理數。那麼，q_i\,\! 不可能與 q_j\,\! 同時回到同一點。雖然如此，有理論證明， \nu_{i}\,\! 、 \nu_{i}\,\! 仍舊分別是 q_i\,\! 、q_j\,\! 的頻率。

[编辑] 傅立葉級數

角度 \mathbf{w}\,\! 是一組互相獨立的廣義坐標。所以，一般而言，每一個廣義坐標 q_{k}\,\! 可以用角度的傅立葉級數表示：

q_{k} = \sum_{s_{1}=-\infty}^{\infty} \sum_{s_{2}=-\infty}^{\infty} \ldots \sum_{s_{N}=-\infty}^{\infty} A^{k}_{s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{N}} e^{i2\pi s_{1} w_{1}} e^{i2\pi s_{2} w_{2}} \ldots e^{i2\pi s_{N} w_{N}}\,\! ；

其中， A^{k}_{s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{N}}\,\! 是傅立葉級數係數。

在大多數實際案例，物理系統的哈密頓-亞可比方程式 \mathcal{H}\left(\mathbf{q},\ \frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}\right)= a_{\mathcal{H}}\,\! 為完全可分的。那麼，一個原本廣義坐標 q_{k}\,\! 只需用其相應的角度變數的傅立葉級數表示：

q_{k} = \sum_{s_{k}=-\infty}^{\infty} e^{i2\pi s_{i} w_{i}}\,\! 。

[编辑] 基本規則總結

一般程序有三個步驟：

  1. 計算作用量變數 J_{i}\,\! 。
  2. 用作用量變數表示原本哈密頓量。
  3. 取哈密頓量關於作用量變數的導數。這樣，可以求得頻率 \nu_{i}\,\! 。

[编辑] 簡併度

在有些案例，兩個不同的廣義坐標會有相同的頻率；也就是說，\nu_{i} = \nu_{j}\,\! for i \neq j\,\! 。稱這些案例的運動狀態為簡併。

簡併的運動給予我們信號，很可能有更多的保守量。例如，克卜勒問題的頻率是簡併的，這對應於拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性。

簡併的運動還給予我們信號，在多於一種坐標系統裏，哈密頓-亞可比方程式會是完全可分的。例如，克卜勒問題在球坐標系與拋物線坐標系，都是完全可分的。

[编辑] 參考文獻

  • H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.
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