佩多不等式

幾何學的佩多不等式，是關連兩個三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。這不等式指出：如果第一個三角形的邊長為$a,b,c$，面積為$f$，第二個三角形的邊長為$A,B,C$，面積為$F$，那麼：

$A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)\geq 16Ff$，

等式成立當且僅當兩個三角形為一對相似三角形，對應邊成比例；
也就是$a/A=b/B=c/C$。

证明

• • 由海伦公式，两个三角形的面积可用边长表示为

$16f^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)$

$16F^2=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^2+B^2+C^2)^2-2(A^4+B^4+C^4)$,

再由柯西不等式，

$16Ff+2a^2A^2+2b^2B^2+2c^2C^2$

$\leq \sqrt{(16f^2+2a^4+2b^4+2c^4)}\sqrt{(16F^2+2A^4+2B^4+2C^4)}$

$= (a^2+b^2+c^2)(A^2+B^2+C^2)$

于是，

$16Ff\leq A^2(a^2+b^2+c^2)-2a^2A^2+B^2(a^2+b^2+c^2)-2b^2B^2+C^2(a^2+b^2+c^2)-2c^2C^2$

$=A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)$ ，命题得证。

等号成立当且仅当$a/A=b/B=c/C=\sqrt{f/F}$,也就是说两个三角形相似。

ABC是第一个三角形，A'B'C'是取相似后的第二个三角形，BC与B'C'重合

• • 几何证法

三角形的面积与边长的平方成正比，因此在要证的式子两边同乘一个系数$\lambda^2$，使得$\lambda A = a$，几何意义是将第二个三角形取相似（如右图）。

设这时A、B、C变成x、y、z，F变成F'。

考虑 AA' 的长度。由余弦公式，

$AA'^2=AB^2+BA'^2-2AB \cdot BA' \cos (\angle B-\angle B')$

$=c^2+z^2-2cz(\cos \angle B \cos \angle B'+\sin \angle B \sin \angle B')$

将$\cos \angle B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} , \cos \angle B' = \frac{x^2+z^2-y^2}{2xz}$,$\sin \angle B = \frac{2f}{ac}, \sin \angle B' = \frac{2F'}{xz}$代入就变成：

$0\leq AA'^2=c^2+z^2-2cz(\frac{(a^2+c^2-b^2)(x^2+z^2-y^2)}{4acxz}+\frac{4F'f}{acxz})$

两边化简后同时乘以$\frac{1}{\lambda^2}$，并注意到a=x，就可得到原不等式。

等号成立当且仅当A与A'重合，即两个三角形相似。