佩多不等式

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幾何學佩多不等式,是關連兩個三角形不等式,以唐·佩多(Don Pedoe)命名。這不等式指出:如果第一個三角形的邊長為a,b,c面積f,第二個三角形的邊長為A,B,C面積F,那麼:

A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)\geq 16Ff

等式成立當且僅當兩個三角形為一對相似三角形,對應邊成比例;
也就是a/A=b/B=c/C

证明[编辑]

  • 海伦公式,两个三角形的面积可用边长表示为
16f^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)
16F^2=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^2+B^2+C^2)^2-2(A^4+B^4+C^4)

再由柯西不等式

16Ff+2a^2A^2+2b^2B^2+2c^2C^2
\leq \sqrt{(16f^2+2a^4+2b^4+2c^4)}\sqrt{(16F^2+2A^4+2B^4+2C^4)}
= (a^2+b^2+c^2)(A^2+B^2+C^2)

于是,

16Ff\leq  A^2(a^2+b^2+c^2)-2a^2A^2+B^2(a^2+b^2+c^2)-2b^2B^2+C^2(a^2+b^2+c^2)-2c^2C^2
=A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)

命题得证。

等号成立当且仅当a/A=b/B=c/C=\sqrt{f/F},也就是说两个三角形相似。


ABC是第一个三角形,A'B'C'是取相似后的第二个三角形,BC与B'C'重合
  • 几何证法

三角形的面积与边长的平方成正比,因此在要证的式子两边同乘一个系数\lambda^2,使得\lambda A = a,几何意义是将第二个三角形取相似(如右图)。 设这时A、B、C变成x、y、z,F变成F'。 考虑 AA' 的长度。由余弦公式,

AA'^2=AB^2+BA'^2-2AB \cdot BA' \cos (\angle B-\angle B')
=c^2+z^2-2cz(\cos \angle B \cos \angle B'+\sin \angle B \sin \angle B')

\cos \angle B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} , \cos \angle B' = \frac{x^2+z^2-y^2}{2xz},\sin \angle B = \frac{2f}{ac}, \sin \angle B' = \frac{2F'}{xz}

代入就变成:

0\leq AA'^2=c^2+z^2-2cz(\frac{(a^2+c^2-b^2)(x^2+z^2-y^2)}{4acxz}+\frac{4F'f}{acxz})

两边化简后同时乘以\frac{1}{\lambda^2},并注意到a=x,就可得到原不等式。 等号成立当且仅当A与A'重合,即两个三角形相似。

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