佩尔方程

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佩爾方程的動畫

若一個丢番图方程具有以下的形式:

x^2 - ny^2= 1

n正整数,则称此二元二次不定方程为佩尔方程(英文:Pell's equation德文:Pellsche Gleichung)。

n完全平方数,则这个方程式只有平凡(\pm 1, 0)(实际上对任意的n(\pm 1, 0)都是解)。对于其余情况,拉格朗日证明了佩尔方程总有非平凡解。而這些解可由\sqrt{n}連分數求出。

佩尔方程的解[编辑]

\tfrac{p_i}{q_i}\sqrt{n}的连分数表示:[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ]的渐近分数列,由连分数理论知存在i使得(pi,qi)为佩尔方程的解。取其中最小的i,将对应的 (pi,qi)称为佩尔方程的基本解,或最小解,记作(x1,y1),则所有的解(xi,yi)可表示成如下形式:

x_i + y_i\sqrt n = (x_1 + y_1\sqrt n)^i

或者由以下遞迴關係式得到:

\displaystyle x_{i+1} = x_1 x_i + n y_1 y_i,
\displaystyle y_{i+1} = x_1 y_i + y_1 x_i

例子[编辑]

标准型[编辑]

\displaystyle x^2 - 7 y^2 = 1

首先根据根号7的渐进连分数表示,找出前几项,察看(分子,分母)是否是一组解。

第一项:\tfrac{h}{k} = \tfrac{2}{1}h^2 - 7 k^2 = -3,\,\!不是解;
第二项:\tfrac{h}{k} = \tfrac{3}{1}h^2 - 7 k^2 = 2,\,\!不是解;
第三项:\tfrac{h}{k} = \tfrac{5}{2}h^2 - 7 k^2 = -3,\,\!不是解;
第四项:\tfrac{h}{k} = \tfrac{8}{3}h^2 - 7 k^2 = 1.\,\!是解。于是最小解是(8,3)。计算x_1 + y_1\sqrt n的各次乘方,或者用递推公式(不能直接得出某一项)就可以得到接下来的各组解
x_n=\frac{(8+3\sqrt{7})^n+(8-3\sqrt{7})^n}{2},y_n=\frac{(8+3\sqrt{7})^n-(8-3\sqrt{7})^n}{2\sqrt{7}}
(x,y)=(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151,3096720)、 (130576328,49353213) ......

非标准型[编辑]

x^2 - 7 y^2 = 2

最小解是(3,1)。2=(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})2=[\frac{(3+\sqrt{7})^{2n-1}}{2^{n-1}}][\frac{(3-\sqrt{7})^{2n-1}}{2^{n-1}}]也是解。

x_n=\frac{(3+\sqrt{7})^{2n-1}+(3-\sqrt{7})^{2n-1}}{2^n},y_n=\frac{(3+\sqrt{7})^{2n-1}-(3-\sqrt{7})^{2n-1}}{2^n\sqrt{7}}
(x,y)=(3,1)、 (45,17)、 (717,271)、 (11427,4319)、 (182115,68833)、 (2902413,1097009)、 (46256493,17483311) ......
5 x^2-3 y^2 = 2

根据\sqrt{\frac{3}{5}}的渐进连分数表示,

第一项:\tfrac{h}{k} = \tfrac{0}{1}5 h^2 - 3 k^2 = -3,\,\!不是解;
第二项:\tfrac{h}{k} = \tfrac{1}{1}5 h^2 - 3 k^2 = 2,\,\!是解。

最小解是(1,1)。2=(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})2=[\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2n-1}}{2^{n-1}}][\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2n-1}}{2^{n-1}}]

x_n=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2n-1}+(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2n-1}}{2^n\sqrt{5}},y_n=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2n-1}-(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2n-1}}{2^n\sqrt{3}}
(x,y)=(1,1)、 (7,9)、 (55,71)、 (433,559)、 (3409,4401)、 (26839,34649)、 (211303,272791)......

与代数数论的联系[编辑]

佩尔方程与代数数理论有紧密联系,因为公式x^2 - n y^2 = (x + y\sqrt n)(x - y\sqrt n)给出了环\mathbb{Z}[\sqrt{n}](即二次域\mathbb{Z}(\sqrt{n}))上的范数。因此(x,y)是佩尔方程的解当且仅x+y \sqrt{n}的范数是一,即是域上的一个单元。根据迪利克雷单元定理\mathbb{Z}[\sqrt{n}]的所有单元都可以表示为同一个基本单元的乘方形式。这就是说一个佩尔方程的所有的解都是一个基本解的乘方。单元总可以通过解一个类似佩尔方程而得到,但这时的基本解并不一定就是基本单元。

与切比雪夫多项式的联系[编辑]

佩尔方程切比雪夫多项式有内在的联系:若Ti (x)和Ui (x)分别是第一类和第二类切比雪夫多项式的相应项,那么它们是佩尔形式方程T_i^2 - (x^2-1) U_{i-1}^2 = 1的解。于是第一类和第二类切比雪夫多项式可以通过展开基本解的乘方得到。

T_i + U_{i-1} \sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^i

进一步有:如果(xi,yi)是佩尔方程的第i个解,那么

xi = Ti (x1)
yi = y1Ui - 1(x1)。

佩尔方程的最小解[编辑]

n x y n x y n x y n x y
1 - - 33 23 4 65 129 16 97 62809633 6377352
2 3 2 34 35 6 66 65 8 98 99 10
3 2 1 35 6 1 67 48842 5967 99 10 1
4 - - 36 - - 68 33 4 100 - -
5 9 4 37 73 12 69 7775 936 101 201 20
6 5 2 38 37 6 70 251 30 102 101 10
7 8 3 39 25 4 71 3480 413 103 227528 22419
8 3 1 40 19 3 72 17 2 104 51 5
9 - - 41 2049 320 73 2281249 267000 105 41 4
10 19 6 42 13 2 74 3699 430 106 32080051 3115890
11 10 3 43 3482 531 75 26 3 107 962 93
12 7 2 44 199 30 76 57799 6630 108 1351 130
13 649 180 45 161 24 77 351 40 109 158070671986249 15140424455100
14 15 4 46 24335 3588 78 53 6 110 21 2
15 4 1 47 48 7 79 80 9 111 295 28
16 - - 48 7 1 80 9 1 112 127 12
17 33 8 49 - - 81 - - 113 1204353 113296
18 17 4 50 99 14 82 163 18 114 1025 96
19 170 39 51 50 7 83 82 9 115 1126 105
20 9 2 52 649 90 84 55 6 116 9801 910
21 55 12 53 66249 9100 85 285769 30996 117 649 60
22 197 42 54 485 66 86 10405 1122 118 306917 28254
23 24 5 55 89 12 87 28 3 119 120 11
24 5 1 56 15 2 88 197 21 120 11 1
25 - - 57 151 20 89 500001 53000 121 - -
26 51 10 58 19603 2574 90 19 2 122 243 22
27 26 5 59 530 69 91 1574 165 123 122 11
28 127 24 60 31 4 92 1151 120 124 4620799 414960
29 9801 1820 61 1766319049 226153980 93 12151 1260 125 930249 83204
30 11 2 62 63 8 94 2143295 221064 126 449 40
31 1520 273 63 8 1 95 39 4 127 4730624 419775
32 17 3 64 - - 96 49 5 128 577 51