佩蘭數列

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在數學上,佩蘭數列是一個整數數列,由起始數值P_0=3 ; P_1=0 ; P_2=2遞歸關係P_{n}=P_{n-2}+P_{n-3}定義。

首數個值為3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, ... (OEIS:A001608

佩蘭數列的遞歸關係和巴都萬數列一模一樣,只是起始值不同而已。

佩蘭偽質數[编辑]

考慮數列中n|P_n的數,有1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...除掉1外,這些數都是質數。

已經證明了對於所有質數,p|P_p。但其逆定理並不成立,這樣的合成數稱為佩蘭偽質數,最小的一個是271441=521^2。(OEIS:A013998

歷史[编辑]

此數列早於1878年就被愛德華·盧卡斯研究(American Journal of Mathematics, vol 1, page 230ff)。1899年R. Perrin(L'Intermediaire Des Mathematiciens)又再研究。對此數列較詳盡的研究是Dan Shanks及Bill Adams在1982年發表的論文(Mathematics of Computation, vol 39, n. 159)。

生成函數[编辑]

佩蘭數列的生成函數為:

G(P(n);x)=\frac{3-x^2}{1-x^2-x^3}.

矩陣形式[编辑]

 \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}^n
  * \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix} P\left(n+2\right) & P\left(n+1\right) & P\left(n\right) \end{pmatrix}

估計值[编辑]

巴都萬數列一樣,佩蘭數列的一般形式也和方程x^3-x-1=0的三個根有關:實根p(即銀數)和兩個複數根qr

P_n=p^n+q^n+r^n

因為qr的絕對值少於1,在n很大的時候會很接近0,可以忽略:P_n \approx p^n。顯然易見兩個連續佩蘭數之比會以銀數為極限,即約1.324718。