保守力

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假设一感受著某作用力的粒子,從初始位置移動到終結位置,而此作用力所做的跟移動路徑無關,則稱此力為保守力(conservative force),又稱為守恆力[1][2]等價地說,假設一個粒子從某位置,移動經過一條閉合路徑後,又回到原本位置,則作用於這粒子的保守力所做的機械功(保守力對於整個閉合路徑的積分)等於零。[3]假設在一個物理系統裏,所有的作用力都是保守力,則稱此物理系統為「保守系統」,又稱為「守恆系統」。對於這種系統,在空間裏每一個位置,都可以給定位勢一個唯一數值。假設粒子從某位置移動至另一位置,則由於保守力的作用,粒子的勢能可能會有所改變,但前後差值與移動經過的路徑無關。例如,重力是一種保守力,而摩擦力是一種非保守力。

概述[编辑]

保守力可以視為一種使機械能守恆的作用力。在一個孤立系统裏,假若所有的作用力都是保守力,則此系統的機械能守恆。在這裏,機械能指的是動能勢能的總合。

思考一個閉合路徑,假設,感受著某作用力,一個粒子從初始位置A移動經過任意閉合路徑後,又回到位置 A ,而此作用力所做於粒子的機械功都等於零,則此作用力满足保守力的条件,可以被分類為保守力。請注意,對於這物理系統,很可能有其他的作用力施加於粒子,但是,這分類只專注於指定的作用力,忽略其他的作用力。當然,根據疊加原理,這分類也可以專注於幾個作用力的合力。例如重力彈簧力磁場力(依照某些定義而定,稍後會加以詳細說明)、電場力(伴隨的磁場與時間無關,請參閱法拉第電磁感應定律)等等,都是保守力;而摩擦力和空氣阻力是典型的非保守力。

對於非保守力,由於能量守恆,損耗的能量必需被傳輸到其他地方。通常,能量會轉換為熱能,例如,摩擦力會產生熱能,有時候,還會產生聲能。對於移動中的船隻,水的阻力會將船隻的機械能轉換為熱能、聲能、以及在尾流邊緣的波能。由於熱力學第二定律,這些能量損耗是不可逆的。

路徑獨立性[编辑]

因為重力是保守力,它對於一個物體所做的機械功,只跟物體位置高度的差值有關。

閉合路徑考試得到的直接結果是,保守力對於一個粒子所做的機械功,跟移動路徑無關;還有,這機械功等於,終結勢能減去初始勢能。試著證明這句話的正確性。設想從點 A 到點 B 有兩條不同的路徑。選擇路徑 1 從點 A 移動到點 B ,然後選擇路徑 2 反方向從點 B 移動到點 A ,粒子能量的改變是零 。因此,不管是選擇路徑 1 或路徑 2 ,從點 A 移動到點 B ,所做的機械功相等。保守力所做的機械功與經過哪一條路徑無關,只要兩條路徑的初始點與終結點相同 。

舉例而言,假設一個小孩從一個滑梯上滑下來,從滑梯的頂端到底端,不論滑梯的形狀,直線型或螺旋型,重力對於這小孩所做的機械功都一樣的。重力所做的機械功,只跟這小孩的落差有關。

保守力的性質[编辑]

設定 \mathbf{F} 為在空間任意位置良好定義(或空間內單連通的區域)的向量場,假若它滿足以下三個等價的條件中任意一個條件,則可稱此向量場為保守向量場

1、\mathbf{F}旋度是零:
\nabla \times\mathbf{F} = 0
2、假設粒子從某閉合路徑 \mathbb{C} 的某一位置,經過這閉合路徑 \mathbb{C} ,又回到原先位置,則力向量場 \mathbf{F} 所做的機械功 W 等於零:
W = \oint_\mathbb{C} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}= 0
3、 作用力 \mathbf{F} 是某位勢 \Phi梯度
\mathbf{F} = - \nabla \Phi

保守力因為可以保守機械能而得名。最常見的保守力為重力、電場力(伴隨的磁場與時間無關,請參閱法拉第電磁感應定律)、彈簧力。

數學證明[编辑]

1⇒2:

設定 \mathbb{C} 為任意簡單閉合路徑,即初始位置與終結位置相同、不自交的路徑。思考邊界為 \mathbb{C} 的任意曲面 \mathbb{S}斯托克斯定理表明
 \int_\mathbb{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} = \oint_\mathbb{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}
假設 \mathbf{F} 的旋度等於零,方程式左邊為零,則機械功 W 是零,第二個條件是正確的。

2⇒3:

假設,對於任意簡單閉合路徑 \mathbb{C}\mathbf{F} 所做的機械功 W 是零,則保守力所做於粒子的機械功,獨立於路徑的選擇。設定函數
\Phi(\mathbf{x}) = - \int_\mathbf{O}^\mathbf{x} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}
其中,\mathbf{o}\mathbf{x} 分別是特定的初始位置和空間內任意位置。
根據微積分基本定理
\mathbf{F}(\mathbf{x}) = - \nabla \Phi(\mathbf{x})
所以,第三個條件是正確的。

3⇒1:

假設第三個條件是正確的。思考下述方程式:
\begin{align}\nabla\times\mathbf{F} & = - \nabla \times \nabla \Phi \\
& = - \left( \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z \partial y} \right) \hat{x} - \left( \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x \partial z} \right)\hat{y} - \left( \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y \partial x} \right)\hat{z} \\
& =\boldsymbol{0}\ \  _{\circ} \\ \end{align}
所以,第一個條件是正確的。

總結,這三個條件彼此等價。由於符合第二個條件就等於通過保守力的閉合路徑考試。所以,只要滿足上述三個條件的任何一條件,施加於粒子的作用力就是保守力。

磁場力[编辑]

很多種作用力不是力向量場,特別是跟速度有關的作用力。對於這些案例,上述三個條件並不數學等價。例如,磁場力滿足第二個條件(由於作用於帶電粒子的磁場力所做的機械功永遠為零),但是不滿足第三個條件,而第一個條件更是不存在定義──磁場力不是向量場,磁場力與速度有關,必需先給定速度函數的形式,才能計算磁場力的旋度。

所以,有一些物理學者將磁場力分類為保守力,而又有一些物理學者反對這樣分類。磁場力是一個特別案例;大多數跟速度有關的作用力,像摩擦力,不能滿足上述三個條件中的任意一個條件,因此,可以明確地分類為非保守力。[4][5]

非保守力[编辑]

在經典力學裏,當計算一個物理系統的運動時,為了簡易分析與計算,自由度被忽略,因此會出現非保守力。舉例而言,摩擦力可以不被視為一種非保守力,而是每一個分子在運動時互相作用的力。可是,這樣做,就不能應用統計力學,而必須特別計算每一個分子的運動。對於宏觀系統,非保守力的概算,比起額外幾百萬自由度的計算,會簡單很多。非保守力的案例有摩擦力、非彈性物質的應力

廣義相對論裏,重力是非保守力,這可以從水星近日點的反常進動觀察得著。但是,應力-能量張量是守恆的。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ David Halliday,《Fundamentals of Physics Extended》,第9版,173:「This result is called the principle of conservation of mechanical energy. (Now you can see where conservative forces got their name.)」,即「遵守力學能『守恆』的力」稱為「守恆力」。
  2. ^ HyperPhysics - Conservative force
  3. ^ Louis N. Hand, Janet D. Finch. Analytical Mechanics. Cambridge University Press. 199841: . ISBN 0521575729. 
  4. ^ For example, Mechanics, P.K. Srivastava, 2004, page 94: "In general, a force which depends explicitly upon the velocity of the particle is not conservative. (However, the magnetic force (qv×B) can be included among conservative forces in the sense that it acts perpendicular to velocity and hence work done is always zero".
  5. ^ For example, The Magnetic Universe: Geophysical and Astrophysical Dynamo Theory, Rüdiger and Hollerbach, page 178.