倒数定则

微积分学

$\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

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倒数定则是数学中关于函数的倒数的导数的一个计算定则。

设有函数$g(x)$，则其倒数$1/g(x)$的导数为

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right) = \frac{- g'(x)}{(g(x))^2}$

例子

$1/(x^2 + 2x)$的导数为：

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2 + 2x}\right) = \frac{-2x - 2}{(x^2 + 2x)^2}.$

$1/\cos(x)$的导数为：

$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x) }\right) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)} \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x).$

证明

设 $f(x) = 1$，则根据除法定则可得

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)$	$= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$
	$= \frac{0\cdot g(x) - 1\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$
	$= \frac{- g'(x)}{(g(x))^2}.$