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倫敦方程

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當超導體的溫度降至其超導臨界溫度以下時,超導體內的磁場會經由邁斯納效應被排斥出去。倫敦方程為這樣的效應提供了量化的解釋。

倫敦方程超導體的電流與其裏面及周圍的電磁場聯繫起來,這兩條方程是由弗里茨海因茨·倫敦兩兄弟於1935年提出的。[1]它們可被視為超導現象最簡單的有效描述,所以幾乎所有介紹超導的現代教科書,都會把倫敦方程視為入門必修課[2][3][4]。這套方程組最大的成就,就在於它們成功地解釋了邁斯納效應[5];該效應指的是,當超導體溫度低於超導的門檻後,它會愈來愈快地排斥掉其內部所有的磁場。

數學表述[编辑]

以可量度的場表示時,倫敦方程共有兩條:

\frac{\partial \mathbf{j}_s}{\partial t} = \frac{n_s e^2}{m}\mathbf{E}, \qquad \mathbf{\nabla}\times\mathbf{j}_s =-\frac{n_s e^2}{mc}\mathbf{B} \,

其中{\mathbf{j}}_s為超導電流,EB分別為超導體內部的電場與磁場,e\,基本電荷m\,為電子質量,而n_s\,為一現象常數,大致上與超導電子的數密度有關[6]。本條目全篇都使用高斯cgs單位制

另一方面,可以利用較抽象的概念——向量場A,來把上面兩條式子寫成較簡便的形式,也就獨立一條的“倫敦方程”[6][7]

\mathbf{j}_s =-\frac{n_se^2}{mc}\mathbf{A}\,

上述這條方程只有一個缺點,就是它一般不具有規範不變性,但只有在符合倫敦規範時,即向量場A散度為零,才具有規範不變性 [8]

倫敦穿透深度[编辑]

若使用安培定律來處理第二條倫敦方程的話[9]

\nabla \times \mathbf{B} = \frac{4 \pi \mathbf{j}}{c}

這樣最後會得出一條微分方程

\nabla^2 \mathbf{B} = \frac{1}{\lambda^2}\mathbf{B}, \qquad \lambda \equiv \sqrt{\frac{m c^2}{4 \pi n_s e^2}}\,

因此從量綱可見,倫敦方程內含一特有的長度大小,\lambda,而在這個長度中,外來的磁場會被愈來愈快地被排斥。這個數值被稱為倫敦穿透深度

舉例說,一超導體與自由空間之間的邊界是平的,而超導體外面的磁場大小是固定的,且方向跟z軸一致,與邊界平面平行。若x從邊界指向超導體內部,則內部的電場解為

B_z(x) = B_0 e^{-x / \lambda}\,

從上式可以較容易地理解到倫敦穿透深度的物理意義。

倫敦方程的基本原理[编辑]

最初的論述[编辑]

需要注意的是,上述各方程並不能用文字推導出來 [10],儘管如此,倫敦兄弟在表述這套理論時,還是有跟着一套憑直覺所得的邏輯。歐姆定律指出,電流與電場成正比;即使各種物質的構造不同,但是大致遵守歐姆定律的物質種類還是出奇地多。然而,超導體是不可能有這樣的線性關係,因為超導時電流都沒有電阻,而這點就是超導的定義。為了這一點,倫敦兄弟把超導電子想像成,受均勻外在電場影響的真空電子。根據洛倫茲力方程式

\mathbf{F}=e\mathbf{E}+ \frac{e}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{B}

這些電子應感受到一股均勻的力,並因此均勻地加速。第一條倫敦方程所描述的正是如此。

要得出第二條方程,先取第一條倫敦方程的旋度,然後使用法拉第定律

\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

最後可得

 \frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla \times \mathbf{j}_s + \frac{n_s e^2}{m c} \mathbf{B} \right) = 0\,

就現時所得的方程而言,方程同時允許不變解及指數衰變解。倫敦兄弟從邁斯納效應中察覺到,非零的不變解是不具有物理意義的,因此他們假定不單是上式的時間導數為零,還有括號內的式子也必須是零。由此得出第二條倫敦方程。

正則動量論述[编辑]

要解釋倫敦方程,還有其他方法[11][12]。電流密度的表示式如下:

\mathbf{j}_s = n_s e \mathbf{v}

要把上式由古典描述轉為量子力學的描述,就必須把jv的數值,改為對應算符期望值。速度算符的表示式如下

\mathbf{v} = \frac{1}{m} \left( \mathbf{p} - \frac{e}{c}\mathbf{A} \right)

把具有規範不變性的動態動量算符,除以粒子質量m,就能得到速度算符[13]。然後可以將速度算符代入電流密度的表示式。然而,超導的微觀理論中有一個重要的假設,就是一系統的超導態是這個系統的基態,而根據布洛赫的一條定理[10],這樣一個態的正則動量p為零。因此得

\mathbf{j}_s =-\frac{n_se_s^2}{mc}\mathbf{A}

也就是上面用向量場A所表示的倫敦方程。

註釋及參考資料[编辑]

  1. ^ London, F.; H. London. The Electromagnetic Equations of the Supraconductor. Proc. Roy. Soc. (London). 1935-03, A149 (866): 71. ISSN 0080-4630. 
  2. ^ Michael Tinkham. Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. 1996. ISBN 0-07-064878-6. 
  3. ^ Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 738. ISBN 0-03-083993-9. 
  4. ^ Charles Kittel. Introduction to Solid State Physics. 1999. ISBN 0-47-141526-X. 
  5. ^ Meissner, W.; R. Ochsenfeld. Ein neuer Effekt bei Eintritt der Supraleitfähigkeit. Naturwissenschaften. 1933, 21 (44): 787. Bibcode:1933NW.....21..787M. doi:10.1007/BF01504252. 
  6. ^ 6.0 6.1 James F. Annett. Superconductivity, Superfluids and Condensates. Oxford. 2004: 58. ISBN 0-19-850756-9. 
  7. ^ John David Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons. 1999: 604. ISBN 0-19-850756-9. 
  8. ^ Michael Tinkham. Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. 1996: 6. ISBN 0-07-064878-6. 
  9. ^ (因為假設了電場只會隨着時間緩慢地變動,而且位移電流項已經受到1/c這個因子的壓抑,因此可以視位移為零。)
  10. ^ 10.0 10.1 Michael Tinkham. Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. 1996: 5. ISBN 0-07-064878-6. 
  11. ^ John David Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons. 1999: 603–604. ISBN 0-19-850756-9. 
  12. ^ Michael Tinkham. Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. 1996: 5–6. ISBN 0-07-064878-6. 
  13. ^ L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Quantum Mechanics- Non-relativistic Theory. Butterworth-Heinemann. 1977: 455–458. ISBN 0-7506-3539-8.