值域

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数学中,函数的值域(Range)是由定义域中一切元素所能產生的所有函數值的集合。有时候也称为函数的

给定函数f: A\rightarrow B,集合f(A)被称为是f值域。值域不应跟陪域B相混淆。一般来说,值域只是陪域的一个子集

例子[编辑]

假设函数f为定义在实数上的函数:

f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}

定义为

f:x\mapsto x^2

f的陪域为\mathbb{R},但明顯地f(x)不會取到负数值,因此,事实上值域只是非负实数集合\mathbb{R}^+\cup\{0\},即区间[0,\infty)

0\leq f(x)<\infty

求函数值域[编辑]

求函数值域,尤其是复合函数的值域时,首先要对基本的初等函数的定义域和值域充分了解,其次要灵活运用基本不等式。

基本方法[编辑]

初等函数的值域求法一般为:

  1. 观察法
  2. 不等式法
  3. 反函数法
  4. 复合函数法
  5. 配方法
  6. 判别式法
  7. 图像求值

观察法[编辑]

例如:y=3-\sqrt{x}

\sqrt{x}\ge 0

\Rightarrow  -\sqrt{x} \le 0

所以值域为(-∞,3]。

不等式法[编辑]

反函数法[编辑]

先求得所要计算的函数的反函数,则反函数的定义域即为原函数的值域。

例如: y=\sqrt[3]{x}

它的反函数为 x=y^3

反函数的定义域为:(-\infty,+\infty)

则原函数 y=\sqrt[3]{x} 的值域为:(-\infty,+\infty)

复合函数法[编辑]

配方法[编辑]

判别式法[编辑]

图像求值[编辑]

画出連續函数的图像,则函数图像纵轴的最小值和最大值(若有)组成的区间即为函数的值域。

相关条目[编辑]