傅立叶变换家族中的关系

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在数学领域的谐波分析中,连续傅里叶变换(continuous Fourier transform, CFT)与傅里叶级数 (Fourier series, FS)有非常微妙的关系。而且连续傅里叶变换也与离散时间傅里叶变换(discrete time Fourier transform, DTFT)和离散傅里叶变换(discrete Fourier transform, DFT)有很近的关系。傅里叶变换家族通常就是指这四种变换。

通过利用Dirac delta函数 \delta(t) ,CFT可以应用到时间离散 (time-discrete)或时间周期(time-periodic)信号。实际上,FS、 DTFT和DFT都可以由最广泛的CFT得到。从理论上看,它们也都是CFT的特殊情况。

在信号理论和数字信号处理(digital signal processing, DSP)中,DFT扩展用于近似计算连续信号的频谱,其变换的对象只是一个采样点的有限序列,而且可以由快速傅里叶变换(fast Fourier transform, FFT)实现。

家族中各个变换的定义[编辑]

下表中左上、左下、右上和右下分别对应了傅里叶变换家族中CFT、FS、DTFT和DFT四个变换对的定义。

傅里叶变换家族中各种变换的定义
× 连续时间 离散时间
时间非周期 x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(f)\ e^{i2\pi ft}\,df \bar{x}(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\! X[k]\; e^{i\frac{2\pi k}{T_0}t}
- X(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\ e^{-i2\pi ft}\,dt \bar{X}(f)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]\ e^{-i2\pi fnT}
时间周期 x[n]=T\int_{1/T}\bar{X}(f)\ e^{i2\pi fnT}\ df x_n=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_k \; e^{i\frac{2\pi}{N}kn}, \quad n=0,\dots,N-1.
- X[k]=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}\bar{x}(t)\; e^{-i\frac{2\pi k}{T_0}t}\,dt X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n\; e^{-i\frac{2\pi}{N}kn}, \quad k=0,\dots,N-1.

显然,上表是从时域信号的角度来划分的:表的列区分了连续时间和离散时间的信号,而表的行则区分了时间上非周期的信号和时间上周期的信号。其中重要的参量符号解释为:

  • x[n]X[k] 都为无限序列,其采样间隔,即间隔时间和间隔频率分别为 Tf_0=1/T_0
  • \bar{x}(t)\bar{X}(f) 都为周期函数,且时间周期和频率周期分别为 T_0f_s=1/T
  • x_nX_k 都为有限序列,且序列长度都为 N

关系推导所需的公式[编辑]

前面表中的定义都可以通过Dirac delta函数 \delta(t) 的扩展形式 ,即Dirac comb函数,由CFT引入或推导。为计算离散和/或周期信号的CFT,我们需要引入一些公式,并使用傅里叶变换的一些特性。以下集中给出:

1. Dirac comb函数的傅里叶变换

Dirac comb函数的定义为

\Delta_T(t)\stackrel{\text{def}}{=}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)

在电气工程中通常又称作冲击串(impulse train)或采样函数 (sampling function)。其重要的傅里叶变换为:

\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{i\frac{2\pi k}{T}t}
\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad
\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta\left(f-\frac{k}{T}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-i2\pi nTf}

这个变换在傅里叶变换家族中各个变换之间转换上起关键作用。

2. 傅里叶变换的卷积定理(convolution theorem)

这包括了傅里叶变换的时域卷积和频域卷积:


\begin{align}
x_1(t)\ast x_2(t) &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad X_1(f)\cdot X_2(f) \\
x_1(t)\cdot x_2(t) &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad X_1(f)\ast X_2(f) 
\end{align}

3. 泊松求和公式(Poisson summation formula)

由Dirac comb函数的傅里叶变换和卷积定理,容易证明泊松求和公式:


\begin{align}
1. \qquad &\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t-nT_0)=\frac{1}{T_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T_0}\right)e^{i\frac{2\pi k}{T_0}t} \\
2. \qquad &\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)e^{-i2\pi nTf}=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(f-\frac{k}{T}\right)
\end{align}

若第1和第2公式中分别取 t=0f=0 ,得到相同等式:


\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T}\right)

这表明,傅里叶变换时时域函数 x(t) 和频域函数 X(f) 分别以 T1/T 为间隔采样,则所有时域采样点的总和与所有频域采样点扩大 1/T 的总和相等。


各种变换之间的关系[编辑]

图 1. 此“立方体”图形表示了连续傅里叶变换离散时间傅里叶变换傅里叶级数离散傅里叶变换之间的关系。


图中立方体包含了频域和时域两个平面上各种变换的关系,同时两平面相连的四个边则分别代表了CFT、FS、DTFT和DFT。其中参量符号与前面表中相同,另外增加:

  • \tilde{X}_k 为由FS和DTFT推导DFT得到的DFT'频域形式,与传统DFT的频域 X_k 有关系: X_k=T_0\tilde{X}_k
  • 图中粗的双箭头(\leftrightarrow)表示每个函数和其变换之间的联系;

总的说来,各种变换之间的转换是一个周期扩展或采样的过程:

  • 如果时域进行周期扩展,则频域为采样;如果时域进行采样,则频域为周期扩展;
  • 一个转换中,周期扩展的周期与采样的间隔有倒数关系;
  • 频域的周期扩展或者采样,都有一个周期或采样间隔作系数;

这里的周期扩展就是与Dirac comb函数相卷积,而采样则是与Dirac comb函数相乘。

从CFT分别到FS和DTFT的转换都容易推导,下面具体说明FS和DTFT到DFT/DFT'转换的推导,最后说明连续FT与DFT/DFT'的关系。

由DTFT推导DFT[编辑]

设DTFT,及对应的CFT为:


\begin{align}
x[n] &\quad\stackrel{\mathcal{DTFT}}{\longleftrightarrow}\quad \bar{X}(f) \\
\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\delta(t-nT)
    &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad \bar{X}(f)
\end{align}

在时域作周期为 T_0 的扩展,有:


\begin{align}
&\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]\cdot\delta(t-nT)\right)
    \ast\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)\right) \\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT)\cdot\delta(t-nT-iNT) \\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iNT)\right)\delta(t-nT)
\end{align}

其中代入了 T_0=NT ,而由于 ni 的求和区间都为 -\infty\infty ,可以用 n-iN 代替 n 得到最后一步推导。取:


\begin{align}
x_n &=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iNT)=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x[n-iN] \\
    &=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT_0)
\end{align}

在频域作带系数 1/T_0 且间隔也为 1/T_0 的采样,有:


\begin{align}
&\bar{X}(f)\cdot\frac{1}{T_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}
    \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right) \\
&=\frac{1}{T_0T}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}
    X\left(f - \frac{k}{T}\right)\right)
    \cdot\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}
    \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)\right)\\
&=\frac{1}{T_0T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty}
    X\left(f - \frac{i}{T}\right)\cdot
    \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)\right)\\
&=\frac{1}{T_0T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty}
    X\left(\frac{k}{T_0} - \frac{i}{T}\right)\right)
    \cdot\delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)
\end{align}

取:


\tilde{X}_k=\frac{1}{T_0T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}
X\left( \frac{k}{T_0} - \frac{i}{T} \right)    
=\frac{1}{T_0}\bar{X}\left(\frac{k}{T_0}\right)


由FS推导DFT[编辑]

设FS,及对应的CFT为:


\begin{align}
\bar{x}(t) &\quad\stackrel{\mathcal{FS}}{\longleftrightarrow}\quad X[k] \\
\bar{x}(t) &\quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad 
    \sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\cdot\delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right).
\end{align}

在时域作间隔为 T 采样,有:


\begin{align}
&\bar{x}(t)\cdot\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT) \\
&=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t-nT_0)\right)\cdot
    \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)\right) \\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(
    \sum_{i=-\infty}^{\infty}x(t-iT_0)\cdot\delta(t-nT)\right) \\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(
    \sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT_0)\right)\cdot\delta(t-nT)
\end{align}

取:


x_n=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT_0)=\bar{x}(nT)

在频域作带系数 1/T 且周期也为 1/T 扩展,有:


\begin{align}
&\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\cdot
    \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)\right)
    \ast\left(\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}
    \delta\left(f - \frac{k}{T}\right)\right) \\
&=\frac{1}{T_0T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{i=-\infty}^{\infty}
    X\left(\frac{k}{T_0}\right)\cdot
    \delta\left(f - \frac{k}{T_0} - \frac{iN}{T_0}\right) \\
&=\frac{1}{T_0T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{i=-\infty}^{\infty}
    X\left(\frac{k-iN}{T_0}\right)\right)\cdot
    \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)
\end{align}

其中也代入了 T_0=NT ,而由于 ki 的求和区间都为 -\infty\infty ,可用 k-iN 替代 k 得到最后一步推导。 取:


\begin{align}
\tilde{X}_k &=\frac{1}{T_0T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}
    X\left(\frac{k-iN}{T_0}\right)
    =\frac{1}{T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}X[k-iN] \\
    &=\frac{1}{T_0T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}
    X\left(\frac{k}{T_0} - \frac{i}{T}\right)
\end{align}


CFT与DFT的关系[编辑]

前面FS到DFT和DTFT到DFT的推导都得到相同的 x_n\tilde{X}_k 。这里的 x_n\tilde{X}_k 可看作一种DFT变换对,有关系:


\begin{align}
\tilde{X}_k &
    =\frac{1}{T_0}\sum\limits_{n=0}^{N-1}\ x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn} \\
x_n &=T\sum\limits_{k=0}^{N-1}\ \tilde{X}_k e^{\frac{2\pi i}{N}kn}
\end{align}

记为:


x_n \quad\stackrel{\mathcal{DFT'}}{\longleftrightarrow}\quad \tilde{X}_k

对比传统DFT变换对的 x_nX_k ,显然有:


X_k=T_0\tilde{X}_k.

这一对变换的等式右边系数的乘积为 T/T_0=1/N ,符合我们在DFT中的说明,因而完全可以将这里的DFT'看作传统DFT的另一种变换形式 。

而由前面转换的推导过程可得到:


\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_n\cdot\delta(t-nT)
     \quad\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\quad 
\begin{matrix}
\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}
    \tilde{X}_k\cdot
    \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)}\\
\displaystyle{=\frac{1}{T_0}
    \sum_{k=-\infty}^{\infty}X_k\cdot
    \delta\left(f - \frac{k}{T_0}\right)}
\end{matrix}

为一对CFT,其中要求 T_0=NT 。加之如果 x(t)\stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}X(f),则有:


x_n=\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(nT-iT_0)
\begin{matrix}
\displaystyle{\quad\stackrel{\mathcal{DFT'}}{\longleftrightarrow}\quad
    \tilde{X}_k=\frac{1}{T_0T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T_0} - \frac{i}{T}\right)} \\
\displaystyle{\quad\stackrel{\mathcal{DFT}}{\longleftrightarrow}\quad
    X_k=\frac{1}{T}\sum_{i=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{k}{T_0} - \frac{i}{T}\right)}
\end{matrix}

其中可以任选 T_0T 。这样就建立了CFT和DFT之间的双向关系。但应注意到,此时我们已经将DFT'和DFT都做了周期拓展,即 n,k\in\mathbb{Z}

参看[编辑]

参考文献[编辑]

  1. Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R., (1999). Discrete-time signal processing, Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall. ISBN 0137549202
  2. Sklar, B., (2001). Digital Communications: Foundamentals and Applicatons, 2nd Edition, Prentice Hall PTR. ISBN 0130847887