傅里叶变换

傅里叶变换（Fourier变换）是一种線性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。

中文译名

Fourier transform 或Transformée de Fourier（法文）有多个中文译名，常见的有「傅里叶变换」、「傅立叶变换」、「付立叶变换」、「傅利葉轉換」、「傅氏轉換」及「傅氏變換」等等。为方便起见，本文统一写作「傅里叶变换」。

应用

傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力學、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。

概要介绍

• 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
• 傅里叶变换属于諧波分析。
• 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。
• 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
• 卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段。
• 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的实现（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT））。

基本性质

线性性质

两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数$f \left( x\right )$和$g \left(x \right)$的傅里叶变换$\mathcal{F}[f]$和$\mathcal{F}[g]$都存在，$\alpha$和$\beta$为任意常系数，则$\mathcal{F}[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal{F}[f]+\beta\mathcal{F}[g]$；傅里叶变换算符$\mathcal{F}$可经归一化成为幺正算符。

平移性质

若函数$f \left( x\right )$存在傅里叶变换，则对任意实数$\omega_{0}$，函数$f(x) e^{i \omega_{0} x}$也存在傅里叶变换，且有$\mathcal{F}[f(x)e^{i \omega_{0} x}]=F(\omega - \omega _0 )$。式中花体$\mathcal{F}$是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位$\sqrt{-1}$。

微分关系

若函数$f \left( x\right )$当$|x|\rightarrow\infty$时的极限为0，而其导函数$f'(x)$的傅里叶变换存在，则有$\mathcal{F}[f'(x)]= i \omega \mathcal{F}[f(x)]$，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子$i\omega$。更一般地，若$f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0$，且$\mathcal{F}[f^{(k)}(x)]$存在，则$\mathcal{F}[f^{(k)}(x)]=( i \omega)^{k} \mathcal{F}[f]$，即k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子$( i \omega)^{k}$。

卷积特性

若函数$f \left( x\right )$及$g \left( x\right )$都在$(-\infty,+\infty)$上绝对可积，则卷积函数$f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi$（或者$f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi)g(x-\xi)d\xi$）的傅里叶变换存在，且$\mathcal{F}[f*g]=\mathcal{F}[f]\cdot\mathcal{F}[g]$。卷积性质的逆形式为$\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)*G(\omega)]=2\pi\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]\cdot\mathcal{F}^{-1}[G(\omega)]$，即两个函数卷积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积乘以$2\pi$。

帕塞瓦尔定理

若函数$f \left( x\right )$可积且平方可积，则$\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 (x)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^{2}d\omega$。其中F(ω) 是f(x) 的傅里叶变换。

更一般化而言，若函数$f \left( x\right )$和$g \left( x\right )$皆平方可积，则$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)g^{*}(x) dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega)G^{*}(\omega)d\omega$。其中F(ω) 和G(ω) 分别是f(x) 和g(x) 的傅里叶变换, *代表複共軛。

傅里叶变换的不同变种

连续傅里叶变换

一般情况下，若「傅里叶变换」一词不加任何限定语，则指的是「连续傅里叶变换」(连续函数的傅里叶变换)。连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。

$F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}\,dt.$

这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。

连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为

$f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.$

即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。

一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。

除此之外，還有其它型式的變換對，以下兩種型式亦常被使用。在通訊或是訊號處理方面，常以$f = \frac{\omega}{2\pi}\,$來代換，而形成新的變換對:

$X(f) = \mathcal{F}[x(t)] = \int\limits_{-\infty}^\infty x(t)\ e^{- i 2\pi f t}\,dt$

$x(t) = \mathcal{F}^{-1}[X(f)] = \int\limits_{-\infty}^\infty X(f) e^{i 2\pi f t}\,df.$

或者是因係數重分配而得到新的變換對：

$F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}\,dt$

$f(t) = \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.$

一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。

当f（t）为偶函数（或奇函数）时，其正弦（或余弦）分量将消亡，而可以称这时的变换为餘弦轉換（cosine transform）或正弦轉換（sine transform）.

另一个值得注意的性质是，当f（t）为纯实函数时，F(−ω) = F^*(ω)成立.

傅里叶级数

连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx} ,$

其中$F_n$为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：

$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$

其中a_n和b_n是实频率分量的振幅。

傅里叶分析最初是研究周期性现象，即傅里叶级数的，后来通过傅里叶变换将其推广到了非周期性现象。理解这种推广过程的一种方式是将非周期性现象视为周期性现象的一个特例，即其周期为无限长。

离散时间傅里叶变换

离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆轉換。

离散傅里叶变换

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数x_n定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，使用离散傅里叶变换，将函数x_n表示为下面的求和形式：

$x_n = \sum_{k=0}^{N-1} X_k e^{-i\frac{2\pi}{N} kn} \qquad n = 0,\dots,N-1$

其中$X_k$是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为$\mathcal{O}(n^2)$，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为$\mathcal{O}(n \log n)$。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。

在阿贝尔群上的统一描述

以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群（dual group）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见龐特里亞金對偶性（Pontryagin duality）中的介绍。

时频分析变换

小波变换，chirplet轉換和分数傅里叶变换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。

傅里叶变换家族

下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性.

變換	時間	頻率
连续傅里叶变换	連續，非週期性	連續，非週期性
傅里叶级数	連續，週期性	離散，非週期性
离散时间傅里叶变换	離散，非週期性	連續，週期性
离散傅里叶变换	離散，週期性	離散，週期性

常用傅里叶变换表

下表列出常用的傅里叶变换对。 $G$和$H$分别代表函数$g(t)$和$h(t)$的傅里叶变换. $g$和$h$可以使可积函数或衰减的分布。

函数关系

	时域信号	角频率表示的 傅里叶变换	弧频率表示的 傅里叶变换	注释
	$g(t)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} d \omega \,$	$G(\omega)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} dt \,$	$G(f)\!\equiv$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} dt \,$
1	$a\cdot g(t) + b\cdot h(t)\,$	$a\cdot G(\omega) + b\cdot H(\omega)\,$	$a\cdot G(f) + b\cdot H(f)\,$	线性
2	$g(t - a)\,$	$e^{- i a \omega} G(\omega)\,$	$e^{- i 2\pi a f} G(f)\,$	时域平移
3	$e^{ iat} g(t)\,$	$G(\omega - a)\,$	$G \left(f - \frac{a}{2\pi}\right)\,$	频域平移，变换2的频域对应
4	$g(a t)\,$	$\frac{1}{|a|} G \left( \frac{\omega}{a} \right)\,$	$\frac{1}{|a|} G \left( \frac{f}{a} \right)\,$	如果$|a|\,$值较大，则$g(a t)\,$会收缩到原点附近，而$\frac{1}{|a|}G \left( \frac{\omega}{a} \right)\,$会扩散并变得扁平.当$|a|$趋向无穷时，成为狄拉克δ函数。
5	$G(t)\,$	$g(-\omega)\,$	$g(-f)\,$	傅里叶变换的二元性性质。通过交换时域变量$t \,$和频域变量$\omega \,$得到.
6	$\frac{d^n g(t)}{dt^n}\,$	$(i\omega)^n G(\omega)\,$	$(i 2\pi f)^n G(f)\,$	傅里叶变换的微分性质
7	$t^n g(t)\,$	$i^n \frac{d^n G(\omega)}{d\omega^n}\,$	$\left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{d^n G(f)}{df^n}\,$	变换6的频域对应
8	$(g * h)(t)\,$	$\sqrt{2\pi} G(\omega) H(\omega)\,$	$G(f) H(f)\,$	$g * h\,$表示$g\,$和$h\,$的卷积—这就是卷积定理
9	$g(t) h(t)\,$	$(G * H)(\omega) \over \sqrt{2\pi}\,$	$(G * H)(f)\,$	变换8的频域对应。

平方可积函数

	时域信号	角频率表示的 傅里叶变换	弧频率表示的 傅里叶变换	注释
	$g(t)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} \mathrm{d} \omega \,$	$G(\omega)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} \mathrm{d}t \,$	$G(f)\!\equiv$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} \mathrm{d}t \,$
10	$\mathrm{rect}(a t) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right)$	$\frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{f}{a}\right)$	矩形脉冲和归一化的sinc函数
11	$\mathrm{sinc}(a t)\,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right)$	$\frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{f}{a} \right)\,$	变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。
12	$\mathrm{sinc}^2 (a t) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)$	$\frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{tri} \left( \frac{f}{a} \right)$	tri 是三角形函数
13	$\mathrm{tri} (a t) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right)$	$\frac{1}{|a|}\cdot \mathrm{sinc}^2 \left( \frac{f}{a} \right) \,$	变换12的频域对应
14	$e^{-\alpha t^2}\,$	$\frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}}$	$\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi f)^2}{\alpha}}$	高斯函数$\exp(-\alpha t^2)$的傅里叶变换是他本身.只有当$\mathrm{Re}(\alpha)>0$时，这是可积的。
15	$e^{iat^2} = \left. e^{-\alpha t^2}\right|_{\alpha = -i a} \,$	$\frac{1}{\sqrt{2 a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\omega^2}{4 a} -\frac{\pi}{4}\right)}$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}} \cdot e^{-i \left(\frac{\pi^2 f^2}{a} -\frac{\pi}{4}\right)}$	光学领域应用较多
16	$\cos ( a t^2 ) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)$	$\sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)$
17	$\sin ( a t^2 ) \,$	$\frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)$	$- \sqrt{\frac{\pi}{a}} \sin \left( \frac{\pi^2 f^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)$
18	$\mathrm{e}^{-a|t|} \,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2}$	$\frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 f^2}$	a>0
19	$\frac{1}{\sqrt{|t|}} \,$	$\frac{1}{\sqrt{|\omega|}}$	$\frac{1}{\sqrt{|f|}}$	变换本身就是一个公式
20	$J_0 (t)\,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}$	$\frac{2\cdot \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}}$	J0(t) 是0阶第一类贝塞尔函数。
21	$J_n (t) \,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ (-i)^n T_n (\omega) \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}}$	$\frac{2 (-i)^n T_n (2 \pi f) \mathrm{rect} (\pi f)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2}}$	上一个变换的推广形式; Tn (t) 是第一类切比雪夫多项式。
22	$\frac{J_n (t)}{t} \,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{i}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (\omega)\,$   $\cdot \ \sqrt{1 - \omega^2} \mathrm{rect} \left( \frac{\omega}{2} \right)$	$\frac{2 \mathrm{i}}{n} (-i)^n \cdot U_{n-1} (2 \pi f)\,$   $\cdot \ \sqrt{1 - 4 \pi^2 f^2} \mathrm{rect} ( \pi f )$	Un (t)是第二类切比雪夫多项式。

分布

	时域信号	角频率表示的 傅里叶变换	弧频率表示的 傅里叶变换	注释
	$g(t)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!G(\omega) e^{i \omega t} d \omega \,$	$G(\omega)\!\equiv\!$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i \omega t} dt \,$	$G(f)\!\equiv$ $\int_{-\infty}^{\infty}\!\!g(t) e^{-i 2\pi f t} dt \,$
23	$1\,$	$\sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega)\,$	$\delta(f)\,$	$\delta(\omega)$代表狄拉克δ函数分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换
24	$\delta(t)\,$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,$	$1\,$	变换23的频域对应
25	$e^{i a t}\,$	$\sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a)\,$	$\delta(f - \frac{a}{2\pi})\,$	由变换3和24得到.
26	$\cos (a t)\,$	$\sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega\!-\!a)\!+\!\delta(\omega\!+\!a)}{2}\,$	$\frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!+\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2}\,$	由变换1和25得到，应用了欧拉公式: $\cos(a t) = (e^{i a t} + e^{-i a t})/2.$
27	$\sin( at)\,$	$\sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega\!-\!a)\!-\!\delta(\omega\!+\!a)}{2i}\,$	$\frac{\delta(f\!-\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})\!-\!\delta(f\!+\!\begin{matrix}\frac{a}{2\pi}\end{matrix})}{2i}\,$	由变换1和25得到
28	$t^n\,$	$i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\,$	$\left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (f)\,$	这里, $n$是一个自然数. $\delta^{(n)}(\omega)$是狄拉克δ函数分布的$n$阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多項式。
29	$\frac{1}{t}\,$	$-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\,$	$-i\pi\cdot \sgn(f)\,$	此处$\sgn(\omega)$为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的.
30	$\frac{1}{t^n}\,$	$-i \begin{matrix} \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(\omega)\,$	$-i\pi \begin{matrix} \frac{(-i 2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}\end{matrix} \sgn(f)\,$	变换29的推广.
31	$\sgn(t)\,$	$\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot \frac{1}{i\ \omega }\,$	$\frac{1}{i\pi f}\,$	变换29的频域对应.
32	$u(t) \,$	$\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right)\,$	$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi f} + \delta(f)\right)\,$	此处$u(t)$是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到.
33	$e^{- a t} u(t) \,$	$\frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)}$	$\frac{1}{a + i 2 \pi f}$	$u(t)$是单位阶跃函数，且$a > 0$.
34	$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n T) \,$	$\begin{matrix} \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\end{matrix} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -k \begin{matrix} \frac{2\pi }{T}\end{matrix} \right)\,$	$\frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( f -\frac{k }{T}\right) \,$	狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.

二元函数

时域信号	角频率表示的 傅里叶变换	弧频率表示的 傅里叶变换	注释
$\mathrm{exp}\left[-\pi\left(a^2x^2+b^2y^2\right)\right]$		$\frac{1}{|ab|} \exp\left[-\pi\left(\frac{f^2_x}{a^2} + \frac{f^2_y}{b^2}\right)\right]$	两个函数都是高斯函数，而且可能都没有单位体积.
$\mathrm{circ}(\sqrt{x^2+y^2})$		$\frac{J_1\left[2 \pi f_r\right]}{f_r}$	此圆有单位半径，如果把circ(t)认作阶梯函数u(1-t); Airy分布用J1 (1阶第一类贝塞尔函数)表达; fr是频率矢量的量值{fx,fy}.

三元函数

时域信号	角频率表示的 傅里叶变换	弧频率表示的 傅里叶变换	注释
$\mathrm{circ}(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$		$4 \pi \frac{\sin[2 \pi f_r] - 2 \pi f_r \cos[2 \pi f_r]}{(2 \pi f_r)^3}$	此球有单位半径；fr是频率矢量的量值{fx,fy,fz}.

参见

• 正交变换
• 傅里叶级数
• 连续傅里叶变换
• 离散时间傅里叶变换
• 离散傅里叶变换
• 傅里叶分析
• 拉普拉斯变换
• 小波变换

參考資料

• R. N. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed., Boston, McGraw Hill, 2000.
• 電機電子類科《工程數學》，ISBN 957-584-377-0，作者陳錫冠、曾致煌老師，高立出版社。

外部連結

• Brad G. Osgood : The Fourier Transform and its Applications (video lectures)