本页使用了标题或全文手工转换

傅里叶级数

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
以傅里葉級數模擬非正弦曲線的方波,經常運用於電子訊號的處理。

任何周期函数都可以用正弦函数余弦函数构成的无穷级数来表示(选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的),這種三角級數後世稱為傅里叶级数法语série de Fourier,或譯為傅立葉級數)。傅里叶级数在数论组合数学信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

歷史[编辑]

傅里葉級數得名於法國數學家約瑟夫·傅里葉(1768年–1830年),他提出任何函數都可以展開為三角級數。此前數學家如拉格朗日等已經找到了一些非週期函數的三角級數展開,而認定一個函數有三角級數展開之後,通過積分方法計算其係數的公式,歐拉達朗貝爾克萊羅早已發現,傅里葉的工作得到了丹尼爾·伯努利的贊助[1]。傅里葉介入三角級數用來解熱傳導方程,其最初論文在1807年經拉格朗日拉普拉斯勒讓德評審後被拒絕出版,他的現在被稱為傅里葉逆轉定理英语Fourier inversion theorem的理論後來發表於1820年的《熱的解析理論》中。將週期函數分解為簡單振盪函數的總和的最早想法,可以追溯至公元前3世紀古代天文學家的均輪和本輪學說。

复数形式的傅里叶级数[编辑]

给定一个周期为T的函数x(t),那么它可以表示为无穷级数

x(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{ik(\frac{2\pi}{T})t}i虚数单位)(1)

其中,a_k可以按下式计算:

a_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\cdot e^{-ik(\frac{2\pi}{T})t}dt(2)

注意到f_k(t)=e^{ik(\frac{2\pi}{T})t}是周期为T的函数,故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系(即它们都具有一个共同周期T)。k=0时,(1)式中对应的这一项称为直流分量,也就是x(t)在整個週期的平均值。k=\pm 1时具有基波频率\omega_0=\frac{2\pi}{T},称为一次谐波基波,类似的有二次谐波,三次谐波等等。

傅里叶级数的收敛性[编辑]

至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件,但是对于实际问题中出现的函数,有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性。在闭区间上满足狄利赫里条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下:

  1. 在定义区间上,x(t)须绝对可积
  2. 在任一有限区间中,x(t)只能取有限个极值点;
  3. 在任何有限区间上,x(t)只能有有限个第一类间断点

满足以上条件的x(t)傅里叶级数都收敛,且:

1.当t是x(t)的连续点时,级数收敛于x(t);
2.当t是x(t)的间断点时,级数收敛于\frac{1}{2}[x(t^-)+x(t^+)].

1966年,里纳特·卡尔松证明了勒贝格二次可积函数的傅立叶级数一定是几乎处处收敛的,即级数在除了一个可数点集外均收敛。

吉布斯现象:在x(t)的不可导点上,如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t),那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号

三角函数族的正交性[编辑]

正弦和餘弦形成了正交集合。正弦、餘弦及其乘積的積分,當mn不同或二函數不同時是0(綠色和紅色區域相等抵消),僅當mn相等並且函數相同時為π。

所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0,这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如,在三维欧氏空间中,互相垂直的向量之间是正交的。事实上,正交是垂直在数学上的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的,所以必然可以张成一个n维空间,也就是说,空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。

希爾伯特空間釋義下,函數的集合{en = einx; nZ}是[−π, π]平方可積函數L2([−π, π])的正交基。這個空間實際上是一個希爾伯特空間,有著針對任何兩個的元素fg的如下內積:

\langle f,\, g \rangle \;\stackrel{\mathrm{def}}{=} \; \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)}\,dx.

三角函数族的正交性用公式表示出来就是:

\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \cos(nx)\, dx = \pi \delta_{mn}, \quad m, n \ge 1, \,
\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx)\, \sin(nx)\, dx = \pi \delta_{mn}, \quad m, n \ge 1

(這裡的δmn克羅內克函數),而

\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\, \sin(nx)\, dx = 0;\,

奇函数和偶函数[编辑]

对于周期为2L的,满足收敛定理的周期函数,

奇函数f_o(x)可以表示为正弦级数:

f_o(x) = \sum _{k=1}^{+\infty}b_k \sin(kx)

其中

b_k = \frac{2}{L}\int_{0}^L f_o(x) \sin(kx)\, dx, \quad k \ge 1

偶函数f_e(x)则可以表示成余弦级数:

f_e(x) = \frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{+\infty}a_k\cos(kx)

其中

a_k = \frac{2}{L}\int_{0}^L f_e(x) \cos(kx)\, dx, \quad k \ge 0

只要注意到欧拉公式e^{i\theta} = \cos \theta + i\;\sin \theta,这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的复数形式中导出。

傅里叶级数的一些例子[编辑]

参阅[编辑]

註釋與引用[编辑]

  1. ^ 詳見莫里斯·克萊因《古今數學思想》,第20章無窮級數,第5節三角級數;第28章十九世紀的偏微分方程,第5節熱方程與傅里葉級數。
    see here, pg.s 209 & 210,

參考書目[编辑]

  • 電機電子類科《工程數學》,ISBN 957-584-377-0,作者陳錫冠、曾致煌,高立出版社。