優環

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交換代數中,尤其在代數幾何的應用中,優環(法文:anneau excellent、英文:excellent ring)是一類性質與完備局部環相近的交換諾特環。這類環首先由亞歷山大·格羅滕迪克定義。

代數幾何與數論中出現的諾特環通常都是優環,此外優環也與奇點消解相關;廣中平祐在1964年證明了特徵為零時的奇點消解定理。

定義[编辑]

以下所論之環皆假定為么交換環。

  • 一個包含域 k 的環 R 被稱作在 k 上是幾何正則的,若且唯若對任何有限擴張 k'/k,環 R \otimes_k k' 都是正則的。
  • 一個環同態 \phi: R \rightarrow S 被稱作是正則的,若且唯若它是平坦的,且對任何 \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R) 其纖維 S \otimes_R k(\mathfrak{p}) 在剩餘域 k(\mathfrak{p}) 上幾何正則。
  • 一個環 R 被稱作 G-環(或格羅滕迪克環),若且唯若它是諾特環,且所有的形式纖維都是幾何正則的;第二個條件意謂:對任何 \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R),環同態
R_\mathfrak{p} \rightarrow \widehat{R_\mathfrak{p}} 是正則的。
  • 一個環 R 被稱作是擬優環,若且唯若它是個 G-環,且對任意有限生成的 R-代數 S\mathrm{Spec}(S) 的奇點集是閉的。
  • 一個優環是一個泛鏈的擬優環。

實際應用中的諾特環幾乎都是泛鏈的,因此擬優環與優環幾無差別。

若一個局部諾特概形 X 上有開覆蓋 U_i,使得每個 U_i 都是優環的,則稱 X優概形

優環的例子[编辑]

  • 完備局部諾特環,包括域。
  • 特徵為零的戴德金環,包括整數環 \mathbb Z
  • \mathbb R\mathbb C 上的收斂冪級數環。
  • 優環的局部化仍為優環。
  • 優環上的有限生成代數仍為優環。

以下將給出一個特徵 p>0 的一維局部正則環而非優環的例子。設 k 是一個特徵 p 的域,[k:k^p]=\infty,令 R := k[[X]],更令

 A := \{\sum_{a_i}X^i \in R : [k^p(a_1, \cdots) : k^p] < \infty \}

A 有非幾何正則的的形式纖維,故非優環。

凡擬優環皆為永田雅宜環

優概形與擬優概形[编辑]

如果一個概形 X 有仿射開覆蓋 X = \bigcup U_\alpha,使得每個 U_\alpha 都是優環的,則稱 X優概形。此條件一旦對某個仿射開覆蓋滿足,則被所有仿射開覆蓋滿足。

擬優概形的定義類此。

奇點解消[编辑]

擬優環與奇點解消問題關係密切,這似乎也是格羅滕迪克定義擬優環的動機。格羅滕迪克在 1965 年觀察到:若能在所有完備的局部諾特整環中消解奇點,則在所有既約的擬優環中亦然。廣中平祐在1964年證明了:特徵為零時,完備局部諾特整環中皆可消解奇點。因此在特徵為零的域上,凡優環皆可消解奇點。反之,若能在諾特環 R 上的所有有限生成整代數上消解奇點,則 R 是擬優環。

文獻[编辑]