微分流形

光滑流形（英语：smooth manifold），或称 C^∞-微分流形（differential manifold）、C^∞-可微流形（differentiable manifold），是指一个被赋予了光滑结构的拓扑流形。一般的，如果不特指，微分流形或可微流形指的就是 C^∞ 类的微分流形。

 C^r-可微流形的定义

设$r\geq 1$的自然数或者为$\infty$，拓扑空间$\mathcal{M}$被称为是$m$维$\mathbf{C}^r$可微流形，如果，

1. $\mathcal{M}$为豪斯多夫空间
2. $\mathcal{M}$被m维坐标邻域所覆盖，换句话说，存在$\mathcal{M}$的$m$维坐标邻域族$\left\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\right\}_{\alpha\in A}$，使得$\mathcal{M}=\cup_{\alpha \in A} U_\alpha$
3. 满足$U_\alpha \cap U_{\beta}\neq \phi$的任意$\alpha,\beta\in A$，坐标转换

$\varphi_\beta\cdot \varphi_\alpha^{-1}: \varphi_\alpha (U_\alpha\cap U_\beta) \to \varphi_\beta (U_\alpha\cap U_\beta)$

为$\mathbf{C}^r$映射。

• 当$r=0$时，$\mathbf{C}^0$流形称为是拓扑流形；当$r=\infty$时，$\mathbf{C}^\infty$流形称为是光滑流形。

參見

• 仿射联络
• 图册 (拓扑学)
• 克里斯托费尔符号
• 微分几何

參考文獻

• 陈, 省身; 陈维桓. 微分几何讲义. 北京大学出版社. 2001. ISBN 7-301-05151-4. 
• 兰, 塞尔日. Fundamentals of Differential Geometry [微分几何基础]. 北京: 施普林格出版社、世界图书出版公司. 2010 [1998]. ISBN 7-5100-0540-X. 
• 德拉姆, 乔治. Differentiable Manifolds [可微流形]. 北京: 施普林格出版社、中国学术出版社. 1984 [1984]. 统一书号 W13262·15.