斯涅尔定律

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折射

圖中可見一道折射光和反射光

斯涅尔定律（Snell's Law）因荷兰物理学家威理博·斯涅尔而命名，是一条描述光的折射规律的定律，即：光入射到不同介质的界面上会发生反射和折射。其中入射光和折射光位于同一个平面上，并且与界面法线的夹角满足如下关系：

$n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$

其中，$n_1$和$n_2$分别是两个介质的折射率，$\theta_1$和$\theta_2$分别是入射光（或折射光）与界面法线的夹角，叫做入射角和折射角。

上式又称斯涅尔公式。

特殊情况

当光由光密介质（折射率 n₁比较大的介质）射入光疏介质（折射率n₂比较小的介质）时（比如由水入射到空气中），如果入射角θ₁等于某一个角θ_c时，折射光线会沿折射界面的切线进行，即折射角 θ₂=90^。,此时会有sinθ₂=1,则可推得sinθ_c = sinθ₁ = n₂/n₁。 但如果入射角θ₁大于这一个值θ_c时，入射角的正弦sinθ₁ > n₂/n₁，会推得sinθ₂>1。这在数学上是没有意义的，所以此时，不存在折射光，而只存在反射光，于是便发生全内反射。而使得全内反射发生的最小入射角θ_c叫做临界角，它的值取决于两种介质的折射率的比值，即θ_c =sin^-1( n₂/n₁)。例：水的折射率为1.33，空气的折射率近似等于1.00，临界角θ_c等于sin^-1(1/1.33)= 48.8°。

费马原理对斯涅尔定律的证明

假设光从介质$n_1$入射到介质$n_2$。以入射光线，法线和折射光线所在平面与两个介质的交界面的交线为x轴，取一条与法线平行的直线为y轴，建立直角坐标系，两条直线相交于点O(0,0)。在入射光线上任取一点A（$x_1$, $y_1$），光线与两介质交界面的交点为B($x$, 0)，在折射光线上任取一点C（$x_2$, $y_2$）。

AB之间的距离为$\sqrt{(x_1- x)^2 + y_1^2}$, BC之间的距离为$\sqrt{(x_2- x)^2 + y_2^2}$。 由费马原理可知，光从A点经过B点到达C点，所用的时间$t$ 应该是最短的。$t=\left(\frac{1}{c}\right)(ABn_1+BCn_2)$, $t$ 取最小值的条件是$\frac{dt}{dx}=0$。

经整理得 $\frac{n_1(x-x_1)}{\sqrt{(x_1- x)^2 + y_1^2}}$ = $\frac{n_2(x_2-x)}{\sqrt{(x_2- x)^2 + y_2^2}}$, $\sin\theta_1 = \frac{(x-x_1)}{\sqrt{(x_1- x)^2 + y_1^2}}$ 且

$\sin\theta_2 = \frac{(x_2-x)}{\sqrt{(x_2- x)^2 + y_2^2}}$

即 $n_1\sin\theta_1$ = $n_2\sin\theta_2$

惠更斯对斯涅尔定律的证明

惠更斯的分析

荷兰物理学家惠更斯认为光是一种波，现代物理学已经证实光是电磁波。考虑光波（平面波）从折射率$n_1$的介质入射到折射率$n_2$的介质，$v_1 = \frac{c}{n_1}$， $v_2 = \frac{c}{n_2}$。

有$t_1 = \frac{dsin i}{v_1}$，$t_2 = \frac{dsin r}{v_2}$。因为波前是连续的，必有$t_1 = t_2$。

经整理得 $n_1\sin\theta_1$ = $n_2\sin\theta_2$

参阅

• 光的反射定律
• 折射率