克兰克－尼科尔森方法

数值分析中，克兰克－尼科尔森方法是有限差分方法中的一种，用于数值求解热方程以及形式类似的偏微分方程。它在时间方向上是隐式的二阶方法，数值稳定。该方法诞生于20世纪，由John Crank与Phyllis Nicolson发展。

对于扩散方程（包括许多其他方程），可以证明克兰克－尼科尔森方法无条件稳定。但是，如果时间步长与空间步长平方的比值过大（一般地，大于1/2），近似解中将存在虚假的振荡或衰减。基于这个原因，当要求大时间步或高空间分辨率的时候，往往会采用数值精确较差的后向欧拉方法进行计算，这样即可以保证稳定，又避免了解的伪振荡。

方法

克兰克－尼科尔森方法在空间域上的使用中心差分；而时间域上应用梯形公式，保证了时间域上的二阶收敛。例如，一维偏微分方程

$\frac{\partial u}{\partial t} = F\left(u, x, t, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)$

令$u(i \Delta x, n \Delta t) = u_{i}^{n}\,$，则通过克兰克－尼科尔森方法导出的差分方程是第n步上采用前向欧拉方法与第n+1步上采用后向欧拉方法的平均值（注意，克兰克－尼科尔森方法本身不是这两种方法简单地取平均，方程对解隐式依赖）。

$\frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{\Delta t} = F_{i}^{n}\left(u, x, t, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)$ (前向欧拉方法)

$\frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{\Delta t} = F_{i}^{n + 1}\left(u, x, t, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)$ (后向欧拉方法)

$\frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{\Delta t} = \frac{1}{2}\left( F_{i}^{n + 1}\left(u, x, t, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right) + F_{i}^{n}\left(u, x, t, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right) \right)$ (克兰克－尼科尔森方法)

对于F，通过中心差分方法使其在空间上是离散的。

注意，这是一个隐式方法，需要求解代数方程组以得到时间域上的下一个u值。如果偏微分方程是非线性的，中心差分后得到的方程依旧是非线性方程系统，因此在时间步上推进会涉及求解非线性代数方程组。许多问题中，特别是线性扩散，代数方程中的矩阵是三对角的，通过三对角矩阵算法可以高效求解，这样，算法的时间复杂度由直接求解全矩阵的$\mathcal{O}(n^3)$转化为$\mathcal{O}(n)$。

示例

线性扩散问题

• 线性扩散方程

$\frac{\partial u}{\partial t} = a \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

通过克兰克－尼科尔森方法将得到离散方程

$\frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{\Delta t} = \frac{a}{2 (\Delta x)^2}\left( (u_{i + 1}^{n + 1} - 2 u_{i}^{n + 1} + u_{i - 1}^{n + 1}) + (u_{i + 1}^{n} - 2 u_{i}^{n} + u_{i - 1}^{n}) \right)$

引入变量$r = \frac{a \Delta t}{2 (\Delta x)^2}$:

$-r u_{i + 1}^{n + 1} + (1 + 2 r)u_{i}^{n + 1} - r u_{i - 1}^{n + 1} = r u_{i + 1}^{n} + (1 - 2 r)u_{i}^{n} + r u_{i - 1}^{n}\,$

这是一个三对角问题，应用三对角矩阵算法（追赶法）即可得到$u_{i}^{n+1}$，而不需要对矩阵直接求逆。

• 准线性扩散方程

$\frac{\partial u}{\partial t} = a(u) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

离散化后则会得到非线性方程系统。但是某些情况下，通过使用a的旧值，即用$a_{i}^{n}(u)\,$ 替代$a_{i}^{n + 1}(u)\,$，可将问题线性化。其他时候，也可能在保证稳定性的基础上使用显式方法估计$a_{i}^{n + 1}(u)\,$

一维多通道连接的扩散问题

这种模型可以用于描述水流中含稳定污染流，但只有一维信息的情况。它可以简化为一维问题并得到有价值的信息。 我们对水中污染溶质富集的问题进行建模，这种问题由三部分组成：已知的扩散方程（$D_x$为常量），平流分量（即由速度场导致的系统在空间上的变化，表示为常量Ux），以及与纵向通道k旁流的相互作用。

$\langle 0 \rangle\frac{\partial C}{\partial t} = D_x \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} - U_x \frac{\partial C}{\partial x}- k (C-C_N)-k(C-C_M)$

其中C表示污染物的富集水平，下标N和M分别对应上一通道和下一通道。

克兰克－尼科尔森方法（i对应位置，j对应时间）将以上偏微分方程中的每个部分变换为

$\langle 1 \rangle \frac{\partial C}{\partial t} = \frac{C_{i}^{j + 1} - C_{i}^{j}}{\Delta t}$

$\langle 2 \rangle\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}= \frac{1}{2 (\Delta x)^2}\left( (C_{i + 1}^{j + 1} - 2 C_{i}^{j + 1} + C_{i - 1}^{j + 1}) + (C_{i + 1}^{j} - 2 C_{i}^{j} + C_{i - 1}^{j}) \right)$

$\langle 3 \rangle\frac{\partial C}{\partial x} = \frac{1}{2}\left( \frac{(C_{i + 1}^{j + 1} - C_{i - 1}^{j + 1})}{2 (\Delta x)} + \frac{(C_{i + 1}^{j} - C_{i - 1}^{j})}{2 (\Delta x)} \right)$

$\langle 4 \rangle C= \frac{1}{2} (C_{i}^{j+1} + C_{i}^{j})$

$\langle 5 \rangle C_N= \frac{1}{2} (C_{Ni}^{j+1} + C_{Ni}^{j})$

$\langle 6 \rangle C_M= \frac{1}{2} (C_{Mi}^{j+1} + C_{Mi}^{j})$

现在引入以下常量用于简化计算：

$\lambda= \frac{D_x\Delta t}{2 \Delta x^2}$

$\alpha= \frac{U_x\Delta t}{4 \Delta x}$

$\beta= \frac{k\Delta t}{2}$

把 <1>, <2>, <3>, <4>, <5>, <6>, α, β 和 λ 代入 <0>. 把新时间项(j+1)代入到左边，当前时间项(j)代入到右边，将得到

$-\beta C_{Ni}^{j+1}-(\lambda+\alpha)C_{i-1}^{j+1} +(1+2\lambda+2\beta)C_{i}^{j+1}-(\lambda-\alpha)C_{i+1}^{j+1}-\beta C_{Mi}^{j+1} = \beta C_{Ni}^{j}+(\lambda+\alpha)C_{i-1}^{j} +(1-2\lambda-2\beta)C_{i}^{j}+(\lambda-\alpha)C_{i+1}^{j}+\beta C_{Mi}^{j}$

第一个通道只能与下一个通道(M)有关系，因此表达式可以简化为：

$-(\lambda+\alpha)C_{i-1}^{j+1} +(1+2\lambda+\beta)C_{i}^{j+1}-(\lambda-\alpha)C_{i+1}^{j+1}-\beta C_{Mi}^{j+1} = +(\lambda+\alpha)C_{i-1}^{j} +(1-2\lambda-\beta)C_{i}^{j}+(\lambda-\alpha)C_{i+1}^{j}+\beta C_{Mi}^{j}$

同样地， 最后一个通道只与前一个通道（N）有关联，因此表达式可以简化为

$-\beta C_{Ni}^{j+1}-(\lambda+\alpha)C_{i-1}^{j+1} +(1+2\lambda+\beta)C_{i}^{j+1}-(\lambda-\alpha)C_{i+1}^{j+1}= \beta C_{Ni}^{j}+(\lambda+\alpha)C_{i-1}^{j} +(1-2\lambda-\beta)C_{i}^{j}+(\lambda-\alpha)C_{i+1}^{j}$

为求解此线性方程组，我们需要知道边界条件在通道始端就已经给定了。

$C_0^{j}$: 当前时间步某通道的初始条件

$C_{0}^{j+1}$: 下一时间步某通道的初始条件

$C_{N0}^{j}$: 前一通道到当前时间步下某通道的初始条件

$C_{M0}^{j}$: 下一通道到当前时间步下某通道的初始条件

对于通道的末端最后一个节点，最方便的条件是是绝热近似，则

$\frac{\partial C}{\partial x}_{x=z} = \frac{(C_{i + 1} - C_{i - 1})}{2 \Delta x} = 0$

当且只当

$C_{i + 1}^{j+1} = C_{i - 1}^{j+1} \,$

时，这一条件才被满足。

以3个通道，5个节点为例，可以将线性系统问题表示为

$\begin{bmatrix}AA\end{bmatrix}\begin{bmatrix}C^{j+1}\end{bmatrix}=[BB][C^{j}]+[d]$

其中，

$\mathbf{C^{j+1}} = \begin{bmatrix} C_{11}^{j+1}\\ C_{12}^{j+1} \\ C_{13}^{j+1} \\ C_{14}^{j+1} \\ C_{21}^{j+1}\\ C_{22}^{j+1} \\ C_{23}^{j+1} \\ C_{24}^{j+1} \\ C_{31}^{j+1}\\ C_{32}^{j+1} \\ C_{33}^{j+1} \\ C_{34}^{j+1} \end{bmatrix}$ $\mathbf{C^{j}} = \begin{bmatrix} C_{11}^{j}\\ C_{12}^{j} \\ C_{13}^{j} \\ C_{14}^{j} \\ C_{21}^{j}\\ C_{22}^{j} \\ C_{23}^{j} \\ C_{24}^{j} \\ C_{31}^{j}\\ C_{32}^{j} \\ C_{33}^{j} \\ C_{34}^{j} \end{bmatrix}$

需要清楚的是，AA和BB是由四个不同子矩阵组成的矩阵，

$\mathbf{AA} = \begin{bmatrix} AA1 & AA3 & 0\\ AA3 & AA2 & AA3\\ 0 & AA3 & AA1\end{bmatrix}$

$\mathbf{BB} = \begin{bmatrix} BB1 & -AA3 & 0\\ -AA3 & BB2 & -AA3\\ 0 & -AA3 & BB1\end{bmatrix}$

其中上述矩阵的的矩阵元对应于下一个矩阵和额外的4x4零矩阵。请注意，矩阵AA和BB的大小为12x12

$\mathbf{AA1} = \begin{bmatrix} (1+2\lambda+\beta) & -(\lambda-\alpha) & 0 & 0 \\ -(\lambda+\alpha) & (1+2\lambda+\beta) & -(\lambda-\alpha) & 0 \\ 0 & -(\lambda+\alpha) & (1+2\lambda+\beta) & -(\lambda-\alpha)\\ 0 & 0 & -2\lambda & (1+2\lambda+\beta)\end{bmatrix}$

$\mathbf{AA2} = \begin{bmatrix} (1+2\lambda+2\beta) & -(\lambda-\alpha) & 0 & 0 \\ -(\lambda+\alpha) & (1+2\lambda+2\beta) & -(\lambda-\alpha) & 0 \\ 0 & -(\lambda+\alpha) & (1+2\lambda+2\beta) & -(\lambda-\alpha)\\ 0 & 0 & -2\lambda & (1+2\lambda+2\beta) \end{bmatrix}$

$\mathbf{AA3} = \begin{bmatrix} -\beta & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\beta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\beta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\beta \end{bmatrix}$

$\mathbf{BB1} = \begin{bmatrix} (1-2\lambda-\beta) & (\lambda-\alpha) & 0 & 0 \\ (\lambda+\alpha) & (1-2\lambda-\beta) & (\lambda-\alpha) & 0 \\ 0 & (\lambda+\alpha) & (1-2\lambda-\beta) & (\lambda-\alpha)\\ 0 & 0 & 2\lambda & (1-2\lambda-\beta)\end{bmatrix}$   &  

$\mathbf{BB2} = \begin{bmatrix} (1-2\lambda-2\beta) & (\lambda-\alpha) & 0 & 0 \\ (\lambda+\alpha) & (1-2\lambda-2\beta) & (\lambda-\alpha) & 0 \\ 0 & (\lambda+\alpha) & (1-2\lambda-2\beta) & (\lambda-\alpha)\\ 0 & 0 & 2\lambda & (1-2\lambda-2\beta) \end{bmatrix}$

这里的d矢量用于保证边界条件成立。在此示例中为12x1的矢量。

$\mathbf{d} = \begin{bmatrix} (\lambda+\alpha)(C_{10}^{j+1}+C_{10}^{j}) \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ (\lambda+\alpha)(C_{20}^{j+1}+C_{20}^{j}) \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ (\lambda+\alpha)(C_{30}^{j+1}+C_{30}^{j}) \\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix}$

为了找到任意时间下污染物的聚集情况，我们需要对以下方程进行迭代计算：

$\begin{bmatrix}C^{j+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}AA^{-1}\end{bmatrix}([BB][C^{j}]+[d])$

示例2： 扩散方程