克劳修斯-莫索提方程式

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克劳修斯-莫索提方程式Clausius-Mossotti equation)表達了線性介電質極化性相對電容率之間的關係,是因義大利物理學者莫索提Ottaviano-Fabrizio Mossotti)和德國物理學者魯道夫·克勞修斯而命名[1][2]。這方程式也可以更改為表達極化性折射率之間的關係,此時稱為洛倫茲-洛倫茨方程式Lorentz-Lorenz equation)。

極化性是一種微觀屬性,而相對電容率則是在介電質內部的一種巨觀屬性,所以,這方程式式連結了介電質關於電極化的微觀屬性與巨觀屬性。

導引[编辑]

一個分子的極化性\alpha定義為[3]

\mathbf{p}\ \stackrel{def}{=}\ \alpha \mathbf{E}

其中,\mathbf{p}是分子的感應電偶極矩\mathbf{E}是作用於分子的電場

介電質電極化強度定義為總電偶極矩每單位面積:

\mathbf{P}(\mathbf{r})\ \stackrel{def}{=}\ \sum_j N_j (\mathbf{r}) \mathbf{p}_j (\mathbf{r})

其中,\mathbf{P}電極化強度\mathbf{r}是檢驗位置,N_j\mathbf{p}_j分別是分子j 的數量每單位面積與電偶極矩。

總合介電質內每一種分子的貢獻,就可以計算出介電質的電極化強度。將極化性的定義式代入,可以得到

\mathbf{P}(\mathbf{r})= \sum_j N_j (\mathbf{r})\alpha_j \mathbf{E}(\mathbf{r})

當計算這方程式時,必需先知道在分子位置的電場,稱為「局域電場」\mathbf{E}_{local}。介電質內部的微觀電場,從一個位置到另外位置,其變化可能會相當劇烈,在電子質子附近,電場很大,距離稍微遠一點,電場呈平方反比減弱。所以,很難計算這麼複雜的電場的物理行為。幸運地是,對於大多數計算,並不需要這麼詳細的描述。所以,只要選擇一個足夠大的區域(例如,體積為V'、內中含有上千個分子的圓球體\mathbb{V}')來計算微觀電場\mathbf{E}_{micro}的平均值,稱為「巨觀電場」\mathbf{E}_{macro},就可以足夠準確地計算出巨觀物理行為:

\mathbf{E}_{macro}=\frac{1}{V'}\int_{\mathbb{V}'}  \mathbf{E}_{micro}\ \mathrm{d}^3 r'

對於稀薄介電質,分子與分子之間的距離相隔很遠,鄰近分子的貢獻很小,局域電場可以近似為巨觀電場 \mathbf{E}_{macro}

\mathbf{E}_{local}\approx \mathbf{E}_{macro}

但對於緻密介電質,分子與分子之間的距離相隔很近,鄰近分子的貢獻很大,必需將鄰近分子的貢獻\mathbf{E}_{1}納入考量:

\mathbf{E}_{local}= \mathbf{E}_{macro}+\mathbf{E}_{1}

因為巨觀電場已經包括了電極化所產生的電場(稱為「去極化場」)\mathbf{E}_{p},為了不重覆計算,在計算\mathbf{E}_{1}時,必需將鄰近分子的真實貢獻\mathbf{E}_{near}減掉去極化場:

\mathbf{E}_{1}=\mathbf{E}_{near} - \mathbf{E}_{p}

舉一個簡單案例,根據洛倫茲關係Lorentz Relation),對於立方晶系結構的晶體或各向同性的介電質,由於高度的對稱性, \mathbf{E}_{near}=0

現在思考以分子位置\mathbf{r}為圓心、體積為V'的圓球體\mathbb{V}',感受到外電場的作用,\mathbb{V}'內部的束縛電荷會被電極化,從而產生電極化強度\mathbf{P}。假設在\mathbb{V}'內部的電極化強度\mathbf{P}相當均勻,則電極化強度\mathbf{P}\mathbb{V}'的電偶極矩之間的關係為

\mathbf{p}=\mathbf{P}V'

線性均勻介電質圓球體內部的電場[4]

\mathbf{E}_{p}= - \frac{\mathbf{P}}{3\epsilon_0}

綜合前面得到的結果:

\mathbf{P}= \sum_j N_j\alpha_j ( \mathbf{E}_{macro}- \mathbf{E}_{p})= \sum_j N_j \alpha_j( \mathbf{E}_{macro}+\frac{\mathbf{P}}{3\epsilon_0})

對於各向同性線性、均勻的介電質,電極化率\chi_e定義為

\mathbf{P}\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0 \chi_e \mathbf{E}_{macro}

電極化率與極化性的關係為

\frac{\chi_e}{\chi_e+3}=\frac{1 }{3\epsilon_0 }\sum_j N_j \alpha_j

由於相對電容率\epsilon_r與電極化率的關係為

\epsilon_r=1+\chi_e

所以,電容率與極化性的關係為

\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}=\frac{1 }{3\epsilon_0 }\sum_j N_j \alpha_j

這方程式就是克劳修斯-莫索提方程式。

電介質的折射率n

n=\sqrt{\epsilon_r\mu_r}\approx\sqrt{\epsilon_r}

其中,\mu_r相對磁導率

對於大多數介電質,\mu_r=1,所以,折射率近似為n=\approx\sqrt{\epsilon_r} 。將折射率帶入克劳修斯-莫索提方程式,就可以給出洛倫茲-洛倫茨方程式[5]

\frac{n^2-1}{n^2+2}=\frac{1 }{3\epsilon_0 }\sum_j N_j \alpha_j

參考文獻[编辑]

  1. ^ O. F. Mossotti, Discussione analitica sull’influenza che l’azione di un mezzo dielettrico ha sulla distribuzione dell’elettricità alla superficie di più corpi elettrici disseminati in esso, Memorie di Mathematica e di Fisica della Società Italiana della Scienza Residente in Modena, vol. 24, p. 49-74 (1850)
  2. ^ R. Clausius, Abhandlungen über die mechanische Wärmetheorie, vol. 2, p. 143, Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig (1867).
  3. ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall, pp. 161, 1998, ISBN 0-13-805326-X 
  4. ^ Kittel, Charles, Introduction to Solid State Physics 8th, USA: John Wiley & Sons, Inc., pp. 460–465, 2005, ISBN 978-0-471-41526-8 
  5. ^ 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修, 費曼物理學講義II (4)電磁與物質, 台灣: 天下文化書, pp. 177ff, 2006, ISBN 978-986-216-476-1