开普勒定律

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图示遵守开普勒行星运动定律的两个行星轨道与。 (1) 第一个行星的椭圆轨道焦点是 $f1$ 与 $f2$ ，第二个行星的椭圆轨道焦点是 $f1$ 与 $f3$ 。太阳的位置是在点 $f1$ 。 (2) A1 与 A2 是两个面积相等的阴影区域。太陽与第一个行星的連線，扫过这两个阴影区域，所需的時間相等。(3) 各个行星绕太阳公转周期的比率为$a1^{3/2}:a2^{3/2}$ ；这里，$a1$ 与 $a2$ 分别为第一个行星与第二个行星的半长轴长度。

开普勒定律是开普勒所发现、关于行星运动的定律。他於1609年在他出版的《新天文学》科學雜誌上发表了关于行星运动的两条定律，又於1618年，发现了第三条定律。

开普勒很幸运地能够得到著名丹麦天文学家第谷·布拉赫所观察与收集、且非常精确的天文資料。大约于 1605 年，根据布拉赫的行星位置資料，开普勒发现行星的移动遵守著三条相当简单的定律。

在天文学与物理学上、开普勒的定律给予亚里士多德派与托勒密派极大的挑战。他主张地球是不斷地移动的；行星轨道不是周转圆 (epicycle）的，而是椭圆形的；行星公转的速度不等恒。这些论点，大大地动摇了当时的天文学与物理学。经过了几乎一個世纪披星戴月，废寝忘食的研究，物理学家终于能够運用物理理论解释其中的奧秘。牛顿應用他的第二定律和万有引力定律，在数学上严格地証明了开普勒定律，也让人们了解其中的物理意义。

开普勒定律

开普勒的三条行星运动定律改变了整个天文学，彻底摧毁了托勒密复杂的宇宙体系，完善并简化了哥白尼的日心说。

开普勒第一定律

开普勒第一定律

开普勒第一定律，也称椭圆定律、軌道定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。

开普勒第二定律

开普勒第二定律

开普勒第二定律，也称等面积定律：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。

这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。用公式表示为

$S_{AB}=S_{CD}=S_{EK}$ 。

开普勒第三定律

开普勒第三定律

开普勒第三定律，也稱週期定律：各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。

由这一定律不难导出：行星与太阳之间的引力与半径的平方成反比。这是牛顿的万有引力定律的一个重要基础。

用公式表示为

$\frac{a^3}{\tau^2}=K$ ；

这里，$a$ 是行星公转轨道半长轴，$\tau$ 是行星公转周期，$K$ 是常数。

数学导引

开普勒定律是关于行星环绕太阳的运动，而牛顿定律更广义的是关于几个粒子因万有引力相互吸引而产生的运动。在只有两个粒子，其中一个粒子超轻于另外一个粒子，这些特别状况下，轻的粒子会环绕重的粒子移动，就好似行星根据开普勒定律环绕太阳的移动。然而牛顿定律还容许其它解答，行星轨道可以呈抛物线运动或双曲线运动。这是开普勒定律无法预测到的。在一个粒子并不超轻于另外一个粒子的状况下，依照广义二体问题的解答，每一个粒子环绕它们的共同质心移动。这也是开普勒定律无法预测到的。

开普勒定律，或者是用几何语言，或者是用方程式，将行星的坐标及时间跟轨道参数相连结。牛顿第二定律是一个微分方程式。开普勒定律的导引涉及解微分方程式的艺术。我们会先导引开普勒第二定律，因为开普勒第一定律的导引必须建立于开普勒第二定律。

开普勒第一定律导引

设定 $u =\frac{1}{r}$ 。这样，角速度是

$\dot{\theta} =\frac{\ell}{mr^2}=\frac{\ell u^2}{m}$ 。

對於时间微分与對於角度微分的关系为

$\frac{d}{dt}=\dot{\theta}\frac{d}{d\theta}=\frac{\ell u^2}{m} \frac{d}{d\theta}$ 。

徑向距離 $r=\frac{1}{u}$ 對於时间的導數為：

$\dot{r}=\frac{\ell u^2}{m} \frac{d}{d\theta}\frac{1}{u} = - \frac{\ell u^2}{m}\frac{1}{u^2}\frac{du}{d\theta}= - \frac{\ell }{m}\frac{du}{d\theta}$ 。

再微分一次：

$\ddot{r} =\frac{\ell u^2}{m} \frac{d\dot{r}}{d\theta}=\frac{\ell u^2}{m} \frac{d}{d\theta} ( - \frac{\ell}{m}\frac{du}{d\theta})= - \frac{\ell^2 u^2}{m^2}\frac{d^2 u}{d\theta^2}$ 。

代入径向运动方程式 (3) ，$\ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = - \frac{GM}{r^2}$ ，

$- \frac{\ell^2 u^2}{m^2}\frac{d^2 u}{d\theta^2} - \frac{\ell^2 u^3}{m^2} = - GMu^2$ 。

将此方程式除以 $- \frac{\ell^2 u^2}{m^2}$ ，则可得到一个简单的常係数非齐次线性全微分方程式来描述行星轨道：

$\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{GMm^2}{\ell^2}$ 。

特征方程式为

$u=\frac{GMm^2}{\ell^2}$ 。

求解剩馀的常係数齐次线性全微分方程式，

$\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = 0$ 。

其特解方程式为

$u=\epsilon\ \cos(\theta - \theta_0)$ ；

这里，$\epsilon$ 与 $\theta_0$ 都是任意积分常数。综合特征方程式与特解方程式，

$u=\frac{GMm^2}{\ell^2}+\epsilon\ \cos(\theta-\theta_0)$ 。

选择坐标轴，让 $\theta_0=0$ 。代回 $u=\frac{1}{r}$ ，

$\frac{1}{r}=\frac{GMm^2}{\ell^2}+ \epsilon\ \cos{\theta}$ 。

假若 $\epsilon\ <\ 1$ ，则 $r$ 所描述的是椭圆轨道。所以，开普勒第一定律是正确的。

开普勒第二定律导引

牛顿万有引力定律阐明：任意两个粒子由通过连线方向的力相互吸引。该引力的的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比。由于太阳超重于行星，我们可以假设太阳是固定的。用方程式表示，

$\mathbf{F}= - G \frac{mM}{r^2}\ \hat{\mathbf{r}}$ ；

这里，$\mathbf{F}$ 是太阳作用於行星的万有引力、$m$ 是行星的质量、$M$ 是太阳的质量、$\mathbf{r}$ 是行星相对于太阳的位移向量、$\hat{\mathbf{r}}$ 是 $\mathbf{r}$ 的单位向量。

牛顿第二定律声明：物體受力後所产生的加速度 $\ddot{\mathbf{r}}$ ，和其所受的淨力 $\mathbf{F}$ 成正比，和其質量 $m$ 成反比。用方程式表示，

$\mathbf{F}=m\ddot{\mathbf{r}}$ 。

合并这两个方程式，

$\ddot{\mathbf{r}}= - G \frac{M}{r^2}\ \hat{\mathbf{r}}$ 。 (1)

思考位置向量 $\mathbf{r}= r \hat{\mathbf{r}}$ ，對於时间 $t$ 微分一次可得到速度向量，再微分一次则可得到加速度向量：

$\dot{\mathbf{r}}=\dot{r}\hat{\mathbf{r}} +r\dot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}}$ ，

$\ddot{\mathbf{r}} = \left(\ddot{r}\hat{\mathbf{r}} +\dot{r}\frac{d\hat{\mathbf{r}}}{dt}\right) + \left(\dot{r}\dot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}} + r\ddot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}} + r\dot{\theta}\frac{d\hat{\boldsymbol{\theta}}}{dt}\right) = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) \hat{\mathbf{r}} + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}) \hat{\boldsymbol{\theta}}$ 。(2)

在这里，我们用到了单位向量微分方程式：

$\frac{d\hat{\mathbf{r}}}{dt} = \dot{\theta} \hat{\boldsymbol{\theta}}$ ，

$\frac{d\hat{\boldsymbol{\theta}}}{dt} = - \dot{\theta} \hat{\mathbf{r}}$ 。

合并方程式 (1) 与 (2) ，可以得到向量运动方程式：

$(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) \hat{\mathbf{r}} + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r} \dot{\theta}) \hat{\boldsymbol{\theta}}= - \frac{GM}{r^2}\hat{\mathbf{r}}$

取各个分量，我们得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速度，另一个是关于切向加速度：

$\ddot{r} - r\dot{\theta}^2 = - \frac{GM}{r^2}$ ，(3)

$r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} = 0$ 。(4)

导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。试想行星的角动量 $\ell=m r^2\dot{\theta}$ 。由于行星的质量是常数，角动量對於时间的导数为

$\dot{\ell}=mr (2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})=0$ 。

角动量 $\ell$ 也是一个运动常数，即使距离 $r$ 与角速度 $\dot{\theta}$ 都可能会随时间变化。

从时间 $t_1$ 到时间 $t_2$ 扫过的区域 $\Delta A$ ，

$\Delta A=\int_{t_1}^{t_2}\frac{1}{2}\cdot r\cdot r\dot \theta\cdot dt=\int_{t_1}^{t_2}\frac{\ell}{2m}dt=\frac{\ell}{2m}\cdot(t_2-t_1)$ 。

行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间 $t_2 - t_1$ 。所以，开普勒第二定律是正确的。

开普勒第三定律导引

在建立牛顿万有引力定律的概念与数学架构上，开普勒第三定律是牛顿依据的重要线索之一。假若我们接受牛顿运动定律。试想一个虚拟行星环绕着太阳公转，行星的移动轨道恰巧呈圆形，轨道半径为 $r$ 。那么，太阳作用于行星的万有引力为 $F=\frac{mv^2}{r}$ 。行星移动速度为 $v=\frac{2\pi r}{\tau}$ 。依照开普勒第三定律，这速度 $v$ 与半径的平方根 $\sqrt{r}$ 成反比。所以，万有引力 $F\propto \frac{1}{r^2}$ 。猜想这大概是牛顿发现万有引力定律的思路，虽然我们并不能完全确定，因为我们无法在他的计算本裡，找到任何关于这方面的证据。

行星环绕太阳（焦点 F1 ）的椭圆轨道。

开普勒第一定律阐明，行星环绕太阳的轨道是椭圆形的。椭圆的面积是 $\pi ab$ ；这里，$a$ 与 $b$ 分别为椭圆的半長軸与半短軸。在开普勒第二定律导引里，行星－太阳连线扫过区域速度 $\frac{dA}{dt}$ 为

$\frac{dA}{dt}=\frac{\ell}{2m}$ 。

所以，行星公转周期 $\tau$ 为

$\tau=\frac{2m\pi ab}{\ell}$ 。(5)

关于此行星环绕太阳，椭圆的半長軸 $a$ ，半短軸 $b$ 与近拱距 $r_A$ （近拱点 A 与引力中心之间的距离），远拱距 $r_B$ （远拱点 B 与引力中心之间的距离）的关系分别为

$a=(r_A+r_B) / 2$ ，(6)

$b=\sqrt{r_A\ r_B}$ 。(7)

如果想要知道半長軸与半短軸，必须先求得近拱距与远拱距。依据能量守恒定律，

$E=\frac{1}{2}m\dot{r}^2+\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2 - G\frac{mM}{r}$ 。

在近拱点 A 与远拱点 B，径向速度都等于零：

$\dot{r}=0$ 。

所以，

$E=\frac{1}{2}mr^2\dot{\theta}^2 - G\frac{mM}{r}= \frac{\ell^2}{2mr^2} - G\frac{mM}{r}$ 。

稍为加以编排，可以得到 $r$ 的一元二次方程式：

$r^2+\frac{GmM}{E}r - \frac{\ell^2}{2mE}=0$ 。

其兩個根分别为椭圆轨道的近拱距 $r_A$ 与远拱距 $r_B$ 。

$r_A=\left( - \frac{GmM}{E} - \sqrt{\left(\frac{GmM}{E}\right)^2+\frac{2\ell^2}{mE}}\right) / 2$ ；

$r_B=\left( - \frac{GmM}{E} + \sqrt{\left(\frac{GmM}{E}\right)^2+\frac{2\ell^2}{mE}}\right) / 2$ 。

代入方程式 (6) 与 (7) ，

$a= - \frac{GmM}{2E}$ ，

$b=\frac{\ell}{\sqrt{ - 2mE}}=\frac{\ell}{m}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{GM}}$ 。

代入方程式 (5) ，周期的方程式为

$\tau=\frac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{GM}}$ 。

Q.E.D.

參見

• 开普勒
• 牛顿第二定律
• 万有引力定律
• 《新天文學》
• 《世界的和諧》
• 牛頓旋轉軌道定理